Supongamos que se te da un polinomio $p(x)=(x-a)(x-b)$, donde $a\neq b$ y $a, b\in\mathbb{Z}$. ¿Cuántas clases de equivalencia de matrices de $2$ por $2$ conjugadas en $\mathbb{Z}$ que tienen a $p$ como su polinomio característico existen? Es decir, para la relación de equivalencia $A$~$B$ si y solo si $\exists S\in GL_{2}(\mathbb{Z})$ tal que $S^{-1}AS=B$, ¿cuántas clases de equivalencia existen con el polinomio característico $p$? Creo que hay finitas, pero no estoy seguro de cuántas exactamente
Respuesta
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Sea $A\in M_{2}(\mathbb{Z})$ una matriz con autovalores $a,b\in\mathbb{Z}\ (a\neq b)$. Dado que $a,b\in \mathbb{Z}$, podemos encontrar un vector propio $\left(\begin{array}{c} e \\ f \end{array} \right)\in\mathbb{Z}^2$ asociado a $a$.$($Encontrar primero en $\mathbb{Q}^2$ y luego multiplicar el vector para obtener un vector en $\mathbb{Z}^2)$.
Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $mdc(e,f)=1$. Entonces, existen $y,x\in\mathbb{Z}^2$ tal que $ey-fx=1$.
Por lo tanto, $\det\left(\begin{array}{cc} e & x \\ f & y \end{array} \right)=1$. Sea $S=\left(\begin{array}{cc} e & x \\ f & y \end{array} \right)$.
Ahora, observemos que $S^{-1}AS\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} a \\ 0 \end{array} \right)$. Por lo tanto, $S^{-1}AS$ es una matriz triangular superior y como es similar a $A$, esta matriz debe ser $S^{-1}AS=\left(\begin{array}{cc} a & d \\ 0 & b \end{array} \right)$.
Por lo tanto, cada matriz como $A$ es similar a una matriz triangular $\left(\begin{array}{cc} a & d \\ 0 & b \end{array} \right)$, con cierto $d\in\mathbb{Z}$.
Ahora, solo necesitamos averiguar cuándo estas matrices triangulares son equivalentes.
Supongamos que $S^{-1}\left(\begin{array}{cc} a & d \\ 0 & b \end{array} \right)S=\left(\begin{array}{cc} a & d' \\ 0 & b \end{array} \right)$ y $\det(S)=\pm 1$.
Observamos que $S\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ es un vector propio de $\left(\begin{array}{cc} a & d \\ 0 & b \end{array} \right)$ asociado a $a$. Por lo tanto, $S=\left(\begin{array}{cc} g & h \\ 0 & i \end{array} \right)$.
Dado que $\det(S)=gi=\pm 1$ entonces $\{g,i\}\subset\{-1,1\}$.
Dado que $S^{-1}\left(\begin{array}{cc} a & d \\ 0 & b \end{array} \right)S=(-S)^{-1}\left(\begin{array}{cc} a & d \\ 0 & b \end{array} \right)(-S)$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $g=1$ e $i=\pm1$.
Entonces, $S=\left(\begin{array}{cc} 1 & h \\ 0 & \pm 1 \end{array} \right)$ y $S^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & \mp h \\ 0 & \pm 1 \end{array} \right)$.
Por lo tanto, $\left(\begin{array}{cc} a & d' \\ 0 & b \end{array} \right)=S^{-1}\left(\begin{array}{cc} a & d \\ 0 & b \end{array} \right)S=\left(\begin{array}{cc} a & (a-b)h\pm d \\ 0 & b \end{array} \right)$.
Entonces, $d'\mp d=(a-b)h=|a-b|h'$. Por lo tanto, $d'\equiv\ \pm d\ mod\ |a-b|$.
Por supuesto, si $d'\equiv\ \pm d\ mod\ |a-b|$, podemos revertir los pasos y demostrar que $\left(\begin{array}{cc} a & d \\ 0 & b \end{array} \right)$ es equivalente a $\left(\begin{array}{cc} a & d' \\ 0 & b \end{array} \right)$. Por lo tanto, una condición necesaria y suficiente para la equivalencia de estas dos matrices triangulares es $d'\equiv\ \pm d\ mod\ |a-b|$.
Finalmente, si $|a-b|$ es par, el número de clases es $\dfrac{|a-b|}{2}+1$. Si $|a-b|$ es impar, el número es $\dfrac{|a-b|+1}{2}$.
