Demuestra que si $a+b =1$, entonces $\forall n \in \mathbb{N}, a^{(2b)^{n}} + b^{(2a)^{n}} \leq 1$.

Question

Inspirado por esta pregunta.

Nota que $a,b \in [0,1]$.

En mis intentos de resolver el enlace anterior, decidí intentar generalizar y usar un método inductivo. Después de haberlo introducido en Mathematica para $n = 0,1,...,9,10$, estoy bastante seguro de que esta afirmación es cierta. He invertido aproximadamente dos semanas en esto y no he llegado a ninguna parte, así que realmente quiero ver una prueba para esto. Se está convirtiendo un poco en un demonio interno para mí.

Answer 1

Este es solo un comentario, pero demasiado largo. Aquí un ejemplo para una consideración corta, $n\ge 1$:

Si observamos $\enspace\displaystyle \frac{x^{(2(1-x))^n}-0.5}{x-0.5}\enspace$ y $\enspace\displaystyle \frac{0.5-(1-x)^{(2x)^n}}{x-0.5}\enspace$ entonces vemos numéricamente $\enspace\displaystyle \frac{x^{(2(1-x))^n}-0.5}{x-0.5}>\frac{0.5-(1-x)^{(2x)^n}}{x-0.5}\enspace$ para $\enspace 0

Podemos encontrar que el máximo de $\enspace\displaystyle \frac{x^{(2(1-x))^n}-0.5}{x-0.5}\enspace$ está en $\enspace x_0\enspace$ (dependiendo de $n$ ;

la función es creciente para $\enspace 0

está en $\enspace 1-x_0\enspace$ (la función es creciente para $\enspace 0

($\text{por ejemplo } n:=2$ : $x_0\approx 0,472376195328360)\enspace$ lo cual es interesante,

porque en $\enspace x=0.5\enspace$ tenemos $\displaystyle \frac{x^{(2(1-x))^n}-0.5}{x-0.5}=\frac{0.5-(1-x)^{(2x)^n}}{x-0.5}\enspace$ para todos los $\enspace n\enspace$

y tenemos una prueba circunstancial de que las desigualdades son válidas.

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Numéricamente vemos que $\enspace\displaystyle x^{(2(1-x))^n}+(1-x)^{(2x)^n}\enspace$ tiene un mínimo para $\enspace 0

Tenemos $\enspace\displaystyle\min(x^{(2(1-x))^{n_2}}+(1-x)^{(2x)^{n_2}})<\min(x^{(2(1-x))^{n_1}}+(1-x)^{(2x)^{n_1}})\enspace$ para $\enspace n_11$ .

Este caso especial $n=1$ se puede encontrar como $\,$ Proposición 5.2 $\,$ en el artículo de https://eudml.org/doc/223938 .

Answer 2

Esto es una prueba INCORRECTA.

Aquí hay un intento/bosquejo, definitivamente no es una prueba ya que hay un punto problemático:

$\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x) = 1$, elevado a $2^n$

$(\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x))^{2^n} \ge \cos^{2}(x)^{2^n} + \sin^{2}(x)^{2^n}$

Esto es cierto ya que $n$ es un número natural y estamos eliminando cantidades no negativas de la izquierda. Notamos que el lado derecho contiene dos cantidades que son menores que $1$, sin embargo, con la desigualdad aún tenemos:

$\cos^{2}(x)^{2^n} + \sin^{2}(x)^{2^n} \le 1$, ahora creamos dos desigualdades más elevando por $\cos^{2n}(x)$ y por $\sin^{2n}(x)

(Las siguientes dos desigualdades no tienen una prueba): Por un razonamiento similar, obtenemos $\cos^{2}(x)^{2^n\cos^{2n}(x)} + \sin^{2}(x)^{2^n\cos^{2n}(x)} \le 1$, y

$\cos^{2}(x)^{2^n\sin^{2n}(x)} + \sin^{2}(x)^{2^n\sin^{2n}(x)} \le 1

Si sumamos estas dos desigualdades y las reorganizamos, obtenemos

$\cos^{2}(x)^{2^n\sin^{2n}(x)} + \sin^{2}(x)^{2^n\cos^{2n}(x)} \le 2 - (\cos^{2}(x)^{2^n\cos^{2n}(x)} + \sin^{2}(x)^{2^n\sin^{2n}(x)} )

Notamos que las funciones en la derecha son de la forma $f(x)=x^{2^nx^{2n}}=x^{(2x^2)^n}$ con simetría $x \to 1-x$. Al observar la derivada (o el gráfico) vemos que la función en el intervalo $[0;1]$ alcanza un mínimo en el intervalo $[\frac{1}{\sqrt e};1]$, pero en el intervalo $[0;1/2 + \epsilon]$ tiende a 1 a medida que $n \to \infty$. En otras palabras $f(x) + f(1-x) \ge 1, x \in [0,1]$ por inspección.

Por lo tanto: $\cos^{2}(x)^{2^n\sin^{2n}(x)} + \sin^{2}(x)^{2^n\cos^{2n}(x)} \le 1

Ahora definimos $a = \cos^2(x), b=\sin^2(x)$ para obtener:

$(a)^{2^nb^{n}} + (b)^{2^na^{n}} \le 1$ o

$a^{(2b)^n} + b^{(2a)^n} \le 1$ como se desea.

Answer 3

Reclamación

Sea $0.5\leq x<1$ y $n\geq 2$ un número natural, entonces tenemos: $$(1-x)^{(2x)^n}+x^{(2(1-x))^n}\leq 1\quad (I)$$

Bosquejo\Parcial (de) prueba.

Usamos una forma de la desigualdad de Young o el Am-Gm ponderado:

Sea $a,b>0$ y $0, entonces tenemos:

$$av+b(1-v)\geq a^vb^{1-v}$$

Teniendo en cuenta este teorema y poniendo:

$a=x^{(2(1-x))^{n-1}}$$\quad$$b=1$$\quad$$v=2(1-x)$ obtenemos $0.5\leq x<1$:

$$x^{(2(1-x))^n}\leq x^{(2(1-x))^{n-1}}2(1-x)+1-2(1-x)$$

Ahora la idea es demostrar:

Sea $$(1-x)^{(2x)^n}\leq 1-\Big(x^{(2(1-x))^{n-1}}2(1-x)+1-2(1-x)\Big)$$

O:

$$(1-x)^{(2x)^n}\leq2(1-x)(1-x^{(2(1-x))^{n-1}})$$

O: $$(1-x)^{(2x)^n-1}+2x^{(2(1-x))^{n-1}}\leq 2\quad (0)$$

Ahora queremos demostrar que:

$$(1-x)^{(2x)^n-1}\leq 2(1-x)^{(2x)^{n-1}}\quad(1)$$

Para eso necesitamos un lema:

Lema:

Sea $0.5\leq x<1$ y $n\geq 2$ un número natural, entonces tenemos:

$$f(n)=\ln(1-x)((2x)^n-1-(2x)^{n-1})\leq f(n-1)=\ln(1-x)((2x)^{n-1}-1-(2x)^{n-2})$$

Es verdad porque es equivalente a:

$$(2x)^{n-2}(2x-1)^2\geq 0$$

Entonces tenemos:

$$f(n)\leq f(2)$$

También podemos mostrar que en $[0.61,1)$:

$$f(n)\leq f(2)\leq \ln(2)$$

Lo cual es equivalente a $(1)$

Entonces, tenemos de $(1)$ y $(0)$ que necesitamos demostrar:

$$2x^{(2(1-x))^{n-1}}+2(1-x)^{(2x)^{n-1}}\leq 2$$

O:

$$x^{(2(1-x))^{n-1}}+(1-x)^{(2x)^{n-1}}\leq 1$$

Así que ahora podemos usar inducción para demostrar $(I)$.

Alguna idea para avanzar más:

Tenemos la desigualdad:

$$f(x)=-4\cdot\left(1-x\right)\cdot x\cdot\left(\left(1-x\right)^{\frac{\left(-4\left(1-x\right)x-1\right)}{-2\left(1-x\right)}}\cdot x^{\frac{\left(-4\left(1-x\right)x-1\right)}{-2x}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(x^{-\frac{1}{2x}}-\left(1-x\right)^{-\frac{1}{2\left(1-x\right)}}\right)\geq x^{2\left(1-x\right)}-\left(1-x\right)^{2x}\tag{E}$$

En $[0.5,0.6875]$

Ahora una buena idea y una factorización es la expresión:

$$\left(f\left(x\right)\right)^{2}+4\left(1-x\right)^{2x}x^{2\left(1-x\right)}$$

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sea $[0.5,0.55]$:

Entonces tenemos:

$$48\left(x-0.5\right)^{2}\geq \left(\left(1-x\right)^{\frac{1}{4\left(1-x\right)}}x^{-\frac{1}{4x}}-\left(1-x\right)^{-\frac{1}{4\left(1-x\right)}}x^{\frac{1}{4x}}\right)^{2}$$

Bosquejo de prueba:

Denotemos por:

$$n(x)=\left(1-x\right)^{\frac{1}{4\left(1-x\right)}}x^{-\frac{1}{4x}}$$ $$h\left(x\right)=\left(\left(1-x\right)^{\frac{1}{4\left(1-x\right)}}x^{-\frac{1}{4x}}-\left(1-x\right)^{-\frac{1}{4\left(1-x\right)}}x^{\frac{1}{4x}}\right)$$ Y:

$$k(x)=-\left(1-x\right)^{-\frac{1}{4\left(1-x\right)}}x^{\frac{1}{4x}}$$

Para $x\in[0.5,0.55]$ tenemos:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}h\left(x\right)\right)\leq \frac{\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\left(1-x\right)^{\frac{1}{4\left(1-x\right)}}x^{-\frac{1}{4x}}\right)\right)}{\left(1-x\right)^{\frac{1}{4\left(1-x\right)}}x^{-\frac{1}{4x}}}-\frac{\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(-\left(1-x\right)^{-\frac{1}{4\left(1-x\right)}}x^{\frac{1}{4x}}\right)\right)}{-\left(1-x\right)^{-\frac{1}{4\left(1-x\right)}}x^{\frac{1}{4x}}}\leq 0$$

Entonces la función $h(x)$ es cóncava y decreciente.

Resta usar una cuerda que se encuentre debajo del gráfico de la función cóncava $h(x)$

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$(E)$ es una aplicación de:

Sea $-1\leq a<0$ y $0 entonces tenemos:

$$r(x)=a\cdot x^{\frac{\left(a-1\right)}{2}}y^{\frac{\left(a-1\right)}{2}}\left(x-y\right)-x^{a}+y^{a}\geq 0\tag{G}$$

No es difícil mostrar que $r(x)$ es convexo en $(0,y)$ entonces la tangente de $r(x)$ en $x=y$ se encuentra por debajo del gráfico de $r(x)$. El resto es sencillo.

Answer 4

Demasiado largo para un comentario:

Sea $0 un número real.

Usando la desigualdad ponderada de Ky-Fan tenemos donde $g(x)=\left(0.5\left(1-x\right)x\left(0.5-x\right)\right)^{2n}$:

$\frac{x^{(2\left(1-x\right))^n}}{\left(1-x\right)^{(2x)^n}}\leq h(x)=\left(\frac{\left(x\cdot\left(\left(1-x\right)^{n}+x^{n}\right)+\left(2^{n}-\left(x^{n}+\left(1-x\right)^{n}\right)\right)\left(x+g\left(x\right)\right)\right)}{\left(1-x\right)\left(\left(1-x\right)^{n}+x^{n}\right)+\left(2^{n}-\left(x^{n}+\left(1-x\right)^{n}\right)\right)\left(1-\left(x+g\left(x\right)\right)\right)}\right)^{2^{n}}\cdot\frac{\left(1-x\right)^{\left(2^{n}-\left(2x\right)^{n}\right)}}{x^{\left(2^{n}-\left(2\left(1-x\right)\right)^{n}\right)}}$

Ahora considera la expresión:

$$\left(1+\frac{x^{(2\left(1-x\right))^n}}{\left(1-x\right)^{(2x)^n}}\right)\left(1-x\right)^{(2x)^n}$$

Sustituye la expresión con $h(x)$ arriba y obtendremos una simplificación.

Ahora tenemos:

$$t(x)=e^{\left(2\left(1-x\right)\right)^{n}\cdot c\left(\left(x-1\right)\left(\frac{2}{x^{2}+x}\right)^{\frac{1}{3}}\right)}\geq x^{\left(2\left(1-x\right)\right)^{n}}$$

Donde $t(0.5)=0.5$

¡Espero que ayude!