Problema
Las alturas $AD$, $BE$ y $CF$ del $\Delta ABC$ se encuentran en el ortocentro $H$.
Dado que $\angle AEH=\angle AFH=90^\circ$, $AEHF$ es un cuadrilátero cíclico.
Sean $U$ y $V$ puntos que yacen en el círculo $AEHF$ tal que $BU$ y $CV$ son tangentes al círculo $AEHF$ en $U$ y $V$ respectivamente.
Dado que $\angle BEC=\angle BFC=90^\circ$, $BCEF$ es un cuadrilátero cíclico.
Sea $W$ el punto de intersección del círculo $BCEF$ y el segmento de recta $AH$.
Demuestra que $BU=BW$ y $CV=CW$.
Mi Progreso
Dado que $\angle CDH=\angle CEH=90^\circ$, $CDHE$ es un cuadrilátero cíclico.
Considerando la potencia de un punto con respecto a los círculos $AEHF$ y $CDHE$, tenemos $BU^2=BE\cdot BH=BC\cdot BD$.
Dado que $\angle BDH=\angle BFH=90^\circ$, $BDHF$ es un cuadrilátero cíclico.
Considerando la potencia de un punto con respecto a los círculos $AEHF$ y $BDHF$, tenemos $CV^2=CF\cdot CH=BC\cdot CD$.
Por lo tanto, tenemos $BU^2+CV^2=BC\cdot BD+BC\cdot CD=BC\cdot (BD+CD)=BC^2$
Dado que $BC$ es un diámetro del círculo $BCEF$, tenemos $BW^2+CW^2=BC^2$.
Por lo tanto, cualquiera de las igualdades $BU=BW$ y $CV=CW$ implica la otra.
