Nota para los moderadores: Intenté editar mi respuesta eliminada, pero luego la gente tendría que votar para restaurar mi publicación. Así que he decidido agregar otra respuesta diferente a la eliminada. ¡Además, es completamente diferente de lo que había escrito hace unos 3 años!
Sea $V = \mathbb{C}^n$, $h(-,-)$ denote el producto interno hermítico estándar en $V$ y denotemos por $\Omega \in \Lambda^n V^*$, normalizado de manera que $$ \Omega(e_1, \ldots, e_n) = 1. $$
Reclamo que estos datos nos permiten definir lo que me gustaría llamar el producto cruzado hermítico de $n - 1$ vectores en $V$. De hecho, sea $v_1, \ldots, v_{n-1} \in V$. Denotemos por $*_h(v_1 \wedge \cdots \wedge v_{n-1}) \in V$ el vector único, digamos $w \in V$ para abreviar, tal que
$$ \Omega(v_1, \ldots, v_{n-1}, v) = h(v, w) $$ para todo $v \in V$ (mi convención es que $h(-,-)$ es antilineal en el segundo argumento).
Tomando $v = w$, obtenemos
$$ \Omega(v_1, \ldots, v_{n-1}, w) = h(w, w) = \lVert w \rVert^2 \geq 0.$$
Así que $w$ es un vector en $V$ que es ortogonal al span de $v_1, \ldots, v_{n-1}$ y tal que el determinante complejo anterior no solo es real, sino también no negativo. Llamaremos a $w$ el producto cruzado hermítico de $v_1, \ldots, v_{n-1}$ (probablemente hay otro nombre para esto en la literatura, estoy seguro).
En términos de coordenadas, $w = (w_1, \ldots, w_n)$, es fácil mostrar que $$ w_i = (-1)^{i+n} \overline{m_{in}(A)} $$
donde $m_{ij}(A)$ es el menor $ij$-ésimo de $A$ y $A$ es la matriz compleja de $n$ por $n-1$ cuya columna $j$-ésima es $v_j$, para $j = 1, \ldots, n-1$.
Si tomamos $v = v_n$ entonces obtenemos $$ \Omega(v_1, \ldots, v_n) = h(v_n, w). $$
Así que podemos ver el determinante complejo de $v_1, \ldots, v_n$ como el producto interno hermítico de, digamos $v_n$, con un vector específico $w$, que no es más que el producto cruzado hermítico de los primeros $n - 1$ vectores ($v_1, \ldots, v_{n-1}$).
¡Nuestra tarea ahora es mucho más fácil! Pensando en la imagen real, proyectamos ortogonalmente $v_n$, ahora considerado como un punto en $\mathbb{R}^{2n}$, ortogonalmente sobre el span real de $w$ y $Jw$. Nota que podemos identificar el span real de $w$ y $Jw$ con $\mathbb{C}$, mapeando $aw + bJw$ en $\lVert w \rVert (a + bi)$.
Creo que el determinante complejo de $v_1, \ldots, v_n$ es en realidad $\lVert w \rVert$ veces la proyección ortogonal de $v_n$ sobre el span real de $w$ y $Jw$, identificados con $\mathbb{C}$. Esto explica en particular la parte real e imaginaria del determinante complejo y, en particular, su fase.
Edición 1: Aquí hay otro enfoque para comprender la fase del determinante complejo, en el caso de matrices complejas de $2$ por $2$, utilizando el mapa de Hopf.
El mapa de Hopf $h: S^3 \to S^2$ tiene la propiedad de que $h(e^{i\theta} \psi) = h(\psi)$, para cualquier $\psi \in S^3 \subset \mathbb{C}^2$. Así que podemos pensar en un punto en $S^3$ simplemente como un triple que consiste en $(p, v, \nu)$, donde $p \in S^2$, $v$ es un vector unitario en $\mathbb{R}^3$ que es ortogonal a $p$ en $\mathbb{R}^3$ pero que se basa en $p$. Así que podemos pensar en $v \in T_p(S^2)$ como un vector unitario que vive en el plano tangente a $S^2$ en $p$. Finalmente, $\nu$ es un punto en la doble cubierta no trivial de $SO(3)$ que yace sobre $(p, v, p \times v) \in SO(3)$.
Dada $\psi_a \in S^3$ para $a = 1, 2$, que asumimos linealmente independientes en $\mathbb{C}^2$ (sobre $\mathbb{C}$) sin pérdida de generalidad, entonces formamos los triples $(p_a, v_a, \nu_a)$ para $a = 1, 2$, correspondientes a $\psi_a$ para $a = 1, 2$, respectivamente.
En esta configuración, ¿cómo podemos recuperar la fase del determinante complejo de la matriz $2$ por $2$ $(\psi_1, \psi_2)$?
