Distribuyendo 10 libros a 5 escuelas

Question

El problema pregunta:

Se distribuyen 10 copias de un libro en 5 escuelas.
1. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse estos libros entre las escuelas?
2. ¿Qué pasa si al menos un libro se asigna a cada escuela?

Lo que estoy pensando es "Tengo 10 libros para distribuir en 5 escuelas, no importa cómo, así que quizás incluso pueda dar todos los libros a una sola escuela" Entonces mi respuesta a la primera pregunta es $C'_{10,5}=C_{14,5}$. Para la segunda pregunta estaba pensando "Tengo que dar al menos un libro en la escuela (así que $C_{10,5}$), los otros (5) a cualquier escuela, no importa cómo, entonces $C'_{5,5}$ mi respuesta final es $C_{10,5} C'_{5,5}$". De hecho, estaba equivocado en ambas respuestas, las respuestas son: $$1)\ C_{14,10}\\2)\ C_{9,5}$$ ¿Por qué?

Answer 1

Denota las cinco escuelas por $1,2,3,4,5$ y deja que $x_1,\ldots,x_5$ sean el número de libros distribuidos a cada escuela, respectivamente. Entonces siempre tenemos una ecuación: $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=10.$$ Nuestro objetivo es encontrar el número de soluciones enteras no negativas bajo algunas condiciones específicas.

1. No hay restricciones, así que por la fórmula de estrellas y barras, el número de soluciones enteras no negativas es precisamente $$\binom{10+5-1}{10}=\binom{14}{10}.$$

2. Ahora tenemos una restricción de que $x_i\geq 1$ para $i=1,2,3,4,5$, pero la fórmula de estrellas y barras solo funciona para la restricción $x_i\geq 0$. Por lo tanto, definimos $y_i:=x_i-1$ para cada $i$. Entonces el sistema se convierte en $$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=5,$$ donde $y_i\geq 0$ para todo $i$. Claramente, hay una correspondencia uno a uno entre la solución de los $y_i$ y la solución de los $x_i$. Por la fórmula de estrellas y barras, el número de soluciones enteras no negativas es $$\binom{5+5-1}{5}=\binom{9}{5}.$$

Para la fórmula de estrellas y barras, puedes revisar la Wikipedia.

Answer 2

Este es un problema simple de combinatoria donde, como no hay ninguna restricción de tener al menos 1 libro por escuela o similar, simplemente podemos enchufar esta fórmula.

(n+r-1) Elegir r, que en este caso es 14 elegir 5 que es 2002.

Ahora, si necesitas al menos 1 libro por escuela, esto significa que podemos controlar la distribución de 5 libros en cualquier orden. Entonces, nuevamente, compramos la misma fórmula obtenemos 9 elegir 5 que es 126.

Este teorema se puede demostrar mediante el método de estrellas y barras ([Descripción del método de estrellas y barras])1. Por favor, ten en cuenta que si estás entrenando para olimpiadas, este teorema seguramente será útil.