Recientemente me encontré con dos preguntas de entrevista para la admisión en B. Math en una universidad. Intenté responder las dos preguntas y quiero saber si mis soluciones son correctas o no.
P1: Dado que $x^4-4x^3+ax^2+bx+1=0$ tiene todas sus raíces positivas y $a,b\in\Bbb R$, demuestra que todas las raíces son iguales.
Mi solución: Sea $p,q,r,s$ las cuatro raíces de la ecuación dada. Usando las fórmulas de Vieta, tenemos que,
$$p+q+r+s=4\quad\textrm{y}\quad pqrs=1$$
Dado que $p,q,r,s$ son todos positivos, tenemos, por la desigualdad de AM-GM,
$$\frac{p+q+r+s}{4}\geq\sqrt[4]{pqrs}=\sqrt[4]{1}=1\implies p+q+r+s\geq 4$$
Dado que obtuvimos $p+q+r+s=4$ usando las fórmulas de Vieta y sabiendo que el caso de igualdad en la desigualdad AM-GM se cumple si y solo si $p=q=r=s$, concluimos que todas las raíces de la ecuación dada son iguales. $_\square$
P2: Sin calcular nada, encuentra el valor de $\dbinom{p+q}2-\dbinom p2-\dbinom q2$.
Mi solución: Dado que se pide no calcular nada, supongo que estaban buscando una prueba combinatoria. Tengo el siguiente argumento:
Supongamos que hay $p+q$ personas en una habitación con $p$ personas en el Grupo 1 y $q$ personas en el Grupo 2. Entonces, $\dbinom{p+q}2$ cuenta la cantidad de maneras en que podemos seleccionar dos personas de las personas en toda la habitación. Sin embargo, $\dbinom p2$ y $\dbinom q2$ cuentan la cantidad de maneras en que podemos seleccionar dos personas del Grupo 1 y del Grupo 2 respectivamente.
Ahora, podemos seleccionar dos personas de toda la habitación ya sea tomando dos personas del Grupo 1 o tomando dos personas del Grupo 2 o tomando una persona del Grupo 1 y otra del Grupo 2. Estos son los únicos métodos posibles.
Entonces, la expresión que tenemos cuenta la cantidad de maneras en que podemos seleccionar una persona del Grupo 1 que contiene $p$ personas y otra persona del Grupo 2 que contiene $q$ personas. Por la regla del producto, tenemos $pq$ formas de hacer esto y por lo tanto el valor de la expresión dada es $pq$. $_\square$
