Demostrar que el polinomio siempre es mayor que cero

Question

Sea $p(x)$ un polinomio tal que $p(1) = 0$ y $p'(x) > p(x)$ para todo $x \geq 1$, entonces tenemos que probar que $p(x) > 0$, para todo $x > 1.

Lo entendí cuando lo pensé lógicamente. Pero ¿cómo podemos probarlo matemáticamente?

Según yo, $p'(1)$ debería ser positivo.

Así que después de $x=1$ el polinomio será positivo y por lo tanto $p'(x)$ no puede ser negativo, es decir, el polinomio está disminuyendo ya que el polinomio es positivo. Por lo tanto, el polinomio es siempre positivo.

Pero ¿cómo podemos probar matemáticamente que el polinomio siempre es positivo? No estoy teniendo ninguna idea.

Answer 1

Consideremos una función $h(x) = p(x) e^{-x}$, tenemos $h'(x) = e^{-x} (p'(x) - p(x)) > 0$ para $x>1$ por lo tanto $h$ es creciente y por lo tanto $h(x) > h(1)$ para $x>1.

Answer 2

La afirmación es falsa.

$p(x)-p'(x)$ y $p(x)$ tienen el mismo término principal, por lo que si el primer polinomio sigue siendo negativo, el segundo debe eventualmente volverse negativo.

Answer 3

Si $f'(x) > f(x)$ y $f(x)$ es positiva, entonces $f$ crece al menos de forma exponencial, no polinómica.

Answer 4

Si $f(x), g(x)$ son dos polinomios, entonces $\lim_{x\to\infty} \frac {f(x)}{g(x)}=0$ si deg $g(x)>\deg f(x)$. Si tienen el mismo grado, el límite será la razón de sus coeficientes principales. Si $f(x)$ tiene un grado mayor que $g(x)$ entonces el límite será $\pm\infty$, según los signos de los términos principales sean iguales o no. Como la derivada de un polinomio tiene un grado menor, la pregunta puede resolverse.

Answer 5

Finalmente lo he logrado. No sé cuáles de todos los polinomios son los que cumplen, pero lo he demostrado.