Serie tipo Faulhaber

Question

La serie $$F(n,m) := 1^n + 2^n + \ldots + m^n = \sum_{k=1}^m k^n$$

Es conocida como la Serie de Faulhaber.

He intentado encontrar una fórmula para esta serie similar pero hasta ahora he fallado.

$$\mathcal{F}(n,m) := m^n - (m-1)^n + (m-2)^n -\ldots\pm 1^n= \sum_{k=1}^m (-1)^{m-k}k^n$$

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EDITAR:

Gracias a la respuesta de André Nicolas llegué a la siguiente fórmula:

$$\mathcal{F}(n,m) = (-1)^m\left(F(n,m) - 2^{n+1}F\left(n,\lfloor m/2\rfloor\right)\right)$$

Answer 1

Pista: Para $1^4-2^4+3^4-4^4+5^4-6^4+7^4-8^4+9^4$ usaríamos $$(1^4+2^4+\cdots +9^4)-(2)(2^4+4^4+6^4+8^4).$$

Y $2^4+4^4+6^4+8^4=2^4(1^4+2^4+3^4+4^4)$.

Se puede llamar a esto Faulhaber menos Faulhaber.

Answer 2

El enfoque del "martillo de la función generadora" que mencioné anteriormente procede calculando una serie de potencias formal en $\mathcal{F}_{n,m}$:

\begin{align} \mathcal{F}_m(x)\equiv\sum_{n=0}^\infty \mathcal{F}_{n,m}\frac{x^n}{n!} &=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=1}^m (-1)^{m-k}k^n\right)\frac{x^n}{n!}\\ &=\sum_{k=1}^m(-1)^{m-k}\sum_{n=0}^\infty \frac{(kx)^n}{n!}\\ &=\sum_{k=1}^m(-1)^{m-k} e^{kx}\\ &=(-1)^m \sum_{k=1}^m (-e^x)^k \\&=(-1)^m \frac{(-e^x)-(-e^x)^{m+1}}{1-(-e^x)}=\frac{e^{mx}\pm 1}{1+e^{-x}} \end{align} donde hemos utilizado la serie de Taylor para el exponencial y la serie geométrica. (El $\pm$ en la última ecuación es para $m$ impar/par.)

Ahora, supongamos que no hubiéramos hecho la serie alternante. Uno puede confirmar fácilmente que en su lugar hubiéramos obtenido la función generadora $$\mathcal{G}_m(x)=\sum_{k=1}^m e^{kx}=\frac{e^{mx}-1}{1-e^{-x}}$$ (Note que $\mathcal{G}_{n,m}$ es idéntica a la $F_{n,m}$ definida en el problema; es simplemente cuestión de preferencia personal que yo use esto en su lugar.) Observa que \begin{align} \mathcal{F}_m(x)\mp \, \mathcal{G}_m(x) &=\frac{e^{mx}\pm 1}{1+e^{-x}}\mp \frac{e^{mx}-1}{1-e^{-x}} \\ &=-2\frac{e^{(m-1)x}-1}{1-e^{-2x}}\\ &=-2 G_{\frac{m-1}{2}}(2x), \hspace{1.8cm}(m \text{ impar})\\ &=+2\frac{e^{(m/2)x}-1}{1-e^{-2x}}\\ &=+2 G_{\frac{m}{2}}(2x), \hspace{2cm}(m \text{ par})\\ \end{align} Identificando coeficientes, concluimos que

\begin{align} \mathcal{F}_{n,m} &=\begin{cases} \mathcal{G}_{n,m}-2^{n+1}G_{n,\frac{m-1}{2}},& m\text{ impar}\\ -\mathcal{G}_{n,m}+2^{n+1}G_{n,\frac{m}{2}},& m\text{ par} \end{cases}\\ &=(-1)^{m-1}\left(\mathcal{G}_{n,m}-2^{n+1}G_{n,\lfloor m/2 \rfloor}\right) \end{align}

Así que hemos derivado (por medios mucho más formales) la misma ecuación vislumbrada en la respuesta de Andre. Nota que aunque tuvimos que luchar para relacionar esto con la función generadora para el resultado de Faulhaber, llegar a $\mathcal{F}(x)$ en sí fue bastante simple. Esto es útil, ya que un análisis de singularidades de esta función generadora produce resultados asintóticos para las series alternantes de Faulhaber. El lector curioso debería ver la Combinatoria Analítica de Flajolet & Sedgwick para un tratamiento completo de este tema.