Prueba de razones trigonométricas de múltiples ángulos

Question

Si $\tan^2{A}=1+2\tan^2B$ entonces prueba que $\cos2B=1+2\cos2A$

No pude relacionar de $\tan$ a $\cos

Answer 1

Agrega $1$ a ambos lados de la condición de tangente.

Obtenemos $\tan^2A+1=2+2\tan^2B$.

Simplificando con la identidad $\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$, tenemos:

$$\sec^2A=2\sec^2B$$

Tomando los recíprocos de ambos lados y multiplicando por $4$, obtenemos:

$$4\cos^2A=2\cos^2B$$

Recordando la identidad $2\cos^2\theta-1=\cos2\theta$, podemos restar $1$ de cada lado para obtener:

$$2(2\cos^2A-1)+1=2\cos^2B-1$$

lo cual se simplifica a:

$$2\cos2A+1=\cos2B$$

Answer 2

Nota, dado que $$\tan^2A=1+2\tan^2B$$ $$\tan^2A+1=2+2\tan^2B$$ $$1+\tan^2A=2(1+\tan^2B)$$ $$\frac{1}{1+\tan^2B}=\frac{2}{1+\tan^2A}$$ $$\frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2B}=\frac{2(1-\tan^2 B)}{1+\tan^2A}$$ $$\cos 2B=\frac{2-2\tan^2B}{1+\tan^2A}$$ configurando $2\tan^2B=\tan^2A-1, $

$$\cos 2B=\frac{2-\tan^2A+1}{1+\tan^2A}$$ $$\cos 2B=\frac{(1+\tan^2A)+2(1-\tan^2A)}{1+\tan^2A}$$

$$\cos 2B=1+2\frac{(1-\tan^2A)}{1+\tan^2A}$$ $$\cos 2B=1+2\cos 2A$$

Answer 3

Uno puede observar que, en general, $$ \frac1{\cos^2 a}=\frac{\cos^2 a+\sin^2 a}{\cos^2 a}=1+\tan^2 a \tag1 $$ y $$ \cos^2 a=\frac{1+\cos (2a)}2 \tag2. $$ Así que a partir de $$ \tan^2{A}=1+2\tan^2B $$ obtenemos $$ 1+\tan^2{A}=2+2\tan^2B $$ o usando $(1)$ $$ \frac1{\cos^2 A}=\frac2{\cos^2 B} $$ y usando $(2)$ $$ \frac2{1+\cos (2A)}=\frac4{1+\cos (2B)} $$ dando $$ 1+\cos (2B)=2+2\cos (2A) $$ que es $$ \cos (2B)=1+2\cos (2A) $$ como se anunció.

Answer 4

$$\frac{\sin^2 A}{\cos^2A}=1+2\frac{\sin^2 B}{\cos^2B}$$ usando la identidad $$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$ ahora usando $$\cos^2A+\sin^2A = 1$$ $$\frac{1-\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1+ 2\frac{1-\cos^2 B}{\cos^2 B}$$

$$\frac{1}{\cos^2 A}-1 = 1+ \frac{2}{\cos^2 B} -2$$ $$2\cos^2 A=\cos^2 B$$ y usando la identidad $$\cos^2 A = \frac{1+ \cos 2A}{2}$$

$$1+\cos 2A = \frac{1+\cos 2B}{2}$$ y $$1+2\cos 2A = \cos 2B$$