Probar una desigualdad fuerte $\sum_{k=1}^n\frac{k}{a_1+a_2+\cdots+a_k}\le\left(2-\frac{7\ln 2}{8\ln n}\right)\sum_{k=1}^n\frac 1{a_k}$

Question

Para $a_i>0$ ($i=1,2,\dots,n$), $n\ge 3$, prueba que $$\sum_{k=1}^n\frac{k}{a_1+a_2+\cdots+a_k}\le\left(2\color{red}{-\frac{7\ln 2}{8\ln n}}\right)\sum_{k=1}^n\frac 1{a_k}.$$

El caso sin $\color{red}{-\dfrac{7\ln 2}{8\ln n}}$ se puede ver aquí. No tengo idea de cómo se obtiene el término $\color{red}{\text{rojo}}$.

Nota: Esta pregunta no debe ser cerrada a pesar de que hubo una pregunta duplicada hace $4$ años (ver aquí). Duplicado de pregunta sin respuesta sugiere que si no hay una respuesta aceptada en la pregunta anterior, la nueva pregunta puede permanecer abierta con la esperanza de atraer una respuesta.

La pregunta proviene del equipo chino de entrenamiento para la Olimpiada Matemática y no se proporciona respuesta.

Fuente:

• Ver P.25 aquí (una de las cuentas oficiales que proporciona preguntas de la Olimpiada Matemática China el 23^{\rm rd}$ de enero de 2018)
• También ha aparecido aquí (Un blog de la persona que planteó esta pregunta el 17^{\rm th}$ de diciembre de 2013).

Answer 1

Para un $n$ dado, esta respuesta de r9m proporciona una herramienta para mejorar el límite superior del lado izquierdo buscando el conjunto de $\{x_k\}_{k=1}^n$ tal que $c(n)=\max\limits_{k \in \{1,2,\cdots,n\}}\{c_k\}$ se minimice. Resultó más conveniente considerar una secuencia $\{y_k\}_{k=2}^n$, donde $y_{k}=x_k/x_{k-1}$ y $d(n)=2-c(n)$. A continuación presento los mejores valores de $d(n)$ para $n$ pequeños y las secuencias (casi óptimas en cada componente) $\{y_k\}$ que las proporcionan que encontré (las fracciones decimales a continuación están truncadas, no redondeadas):

n=4 0.738307
2.195696 1.989904 2.218204

n=5 0.696237
2.071728 1.818972 1.821304 2.083424

n=6 0.660482
1.9875 1.7125 1.6625 1.7250 2.0000

n=7 0.632358
1.925 1.660 1.575 1.575 1.655 1.930

n=8 0.611866
1.8912 1.6148 1.5254 1.5012 1.5230 1.6106 1.8896

Sugiere que existe un patrón general para $\{y_k\}$. A continuación se muestran gráficos de $\{y_k\color{red}{-1}\}$ para $n=20$ (lo que proporciona $d(20)\ge 0.4750702$) y $n=100$ (lo que proporciona $d(100)\ge 0.3156195$). Destaco que el último valor es más del doble que $\frac{7\ln 2}{8\ln 100}=\frac{7}{8\log_2 100}=0.1317006\dots$, por lo que supongo que la descripción analítica del patrón puede llevar a una demostración de una desigualdad fuerte. Como ayuda, proporciono a continuación la secuencia (redondeada) $\{y_k-1\}$ para $n=100$.

0.568813293
0.339731947
0.250658592
0.202100545
0.171168765
0.149589419
0.133606711
0.121254158
0.111401006
0.103346372
0.096632292
0.090945372
0.086065313
0.081830815
0.078121791
0.074847124
0.071934277
0.069329774
0.06698533
0.064867893
0.062946908
0.06119601
0.059597855
0.058134021
0.056788616
0.055549986
0.054408614
0.053355081
0.052381164
0.051477808
0.050642813
0.049869636
0.049150712
0.048487213
0.047870011
0.047300624
0.046773765
0.046287301
0.045839285
0.045426464
0.045050178
0.044705127
0.044392893
0.044110562
0.043858542
0.043635059
0.043439437
0.043271504
0.043130179
0.043015646
0.042927185
0.042864435
0.042829168
0.042819848
0.04283657
0.042881058
0.042952044
0.043050421
0.043179212
0.043337126
0.043524287
0.043744926
0.043999354
0.044286068
0.044612369
0.044977226
0.045381648
0.045832647
0.046329917
0.046878054
0.047482742
0.048146738
0.048877411
0.049679262
0.05056174
0.051533042
0.052601587
0.053782408
0.055087981
0.05653489
0.058146492
0.059945903
0.06196218
0.06423862
0.066818627
0.069766721
0.073161067
0.077108166
0.081748879
0.087280503
0.093985299
0.10227286
0.11278736
0.126570241
0.145453179
0.172979978
0.217060498
0.299864157
0.518985805