La serie de problema! Alguien puede darme un contraejemplo?

Question

Supongamos positivo de la serie $\sum a_n<+\infty$, ¿ esto implica que $$\lim_{n\to\infty}na_n=0 .$$

Answer 1

No, usted puede tomar $a_{n}=\begin{cases}2^{-k}&\textrm{if }n=2^k\textrm{ for some }k\in\mathbb N_0,\\2^{-n}&\textrm{otherwise.}\end{cases}$

Aquí $2^ka_{2^k}=1$, por lo que el límite no existe, pero la serie converge de todos modos, porque la serie geométrica.

Answer 2

Recordar la convergencia de la prueba: $\sum a_n$ $\sum b_n$ se dan positivo de la serie, y $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$.

• Si $L=0$ al $\sum b_n$ converge lo hace $\sum a_n$;
• si $L=\infty$ al $\sum b_n$ diverge lo hace $\sum a_n$;
• si $L\in(0,\infty)$ $\sum b_n$ converge si y sólo si $\sum a_n$ converge.

Tenga en cuenta que $na_n = \dfrac{a_n}{\frac1n}$.

Por lo que este límite $\lim_{n\to\infty} na_n$ es la comparación entre los $\sum a_n$$\sum\frac1n$. Ya sabemos que $\sum a_n$ converge y $\sum\frac1n$ diverge a infinito, el límite no puede ser distinto de cero (si es que existe, como Dejan Govc respuesta del show).

Answer 3

Deje $a_n=\frac1n$ siempre $n$ es positivo cuadrado perfecto, y $a_n=0$ lo contrario. A continuación, $\sum_{n\geq1}a_n=\sum_{m\geq1}a_{m^2}=\sum_{m\geq1}\frac1{m^2}=\frac{\pi^2}6<\infty$ pero $\lim_{n\to\infty}na_n$ no existe. Si no te gusta los términos de $a_n=0$ positiva de la serie, reemplazarlos con algo como $\exp(-n)$ que disminuye con la suficiente rapidez como para no perturbar la convergencia de la serie.