Comportamiento de $\tan(\frac{1}{n}) - (\frac{1}{n})$ cuando $n\to +\infty$

Question

Estoy tratando de ver si ciertas series convergen o no.

En las soluciones de mi libro de texto dice:

Observa que $\tan\left(\frac{1}{n}\right) - (\frac{1}{n})$ se comporta como $\frac{1}{3n^3}$

No tengo ni idea de por qué es así. Supongo que $\tan\left(\frac{1}{n}\right)$ y $\frac{1}{n}$ se comportan de la misma manera pero no veo cómo eso es relevante

Agradecería una explicación (si no, los consejos también son bienvenidos)

Answer 1

De relaciones asintóticas: $$\tan(t)\,\,\sim\,\, t$$ cuando $t\to 0$. En este caso, $\frac{1}{n}\to 0$ cuando $n\to+\infty$. Por lo tanto: $$\tan\left(\frac{1}{n}\right)\,\,\sim\,\,\frac{1}{n}$$ Usar solo relaciones asintóticas no es suficiente. Debemos usar la serie de Taylor-Maclaurin para $\tan(t)$: $$\tan(t)=t+\frac{1}{3}t^3+o(t^3),\,\,\, t \to 0$$

Hemos hecho: $$\tan\left(\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^3}+ o\left(\frac{1}{n^3}\right)=\frac{1}{3n^3}+ o\left(\frac{1}{n^3}\right)\,\,\,\, n\to +\infty$$