Estoy un poco perdido en cómo evaluar la integral: $$\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{3}}$$
Intenté la sustitución: $y=x^{3}$, pero obtuve un integrando más complicado. ¿Alguna idea?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay una factorización de la suma de dos cubos: $$ 1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2) $$ Este polinomio cuadrático es irreducible a menos que permitas números imaginarios ya que si lo escribes como $ax^2+bx+c$, resulta que $b^2-4ac<0$. Entonces $$ \frac{1}{1+x^3} = \frac{1}{(1+x)(1-x+x^2)} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{1-x+x^2} $$ Como es habitual con fracciones parciales, entonces encuentras $A$, $B$, y $C$. La integral de $A/(1+x)$ es fácil. La otra puedes empezar con una sustitución: $u=x^2-x+1$, $du = (2x-1)\,dx$. Entonces $$ (Bx+C)\,dx = \frac B 2 \left(2x + \frac{-2}{B} \right)\,dx + (\text{alguna constante (¡encuéntrala!})\,dx $$ Entonces necesitas $$ \frac B 2 \int \frac{2x-1}{x^2-x+1}\,dx $$ y puedes hacerlo usando la sustitución.
Finalmente, necesitas $$ \int \frac{\text{constante}}{x^2-x+1}\,dx. $$ Completa el cuadrado: $$ x^2 - x + 1 = \left(x^2 - x + \frac 1 4\right) + \frac 3 4 = \left(x - \frac 1 2\right)^2 + \frac 3 4 $$ Queremos $1$ donde vemos $3/4$, para que parezca la derivada de la arcotangente. Entonces $$ \left(x - \frac 1 2\right)^2 + \frac 3 4 = \frac 3 4 \left( \frac 4 3\left(x - \frac 1 2\right)^2 + 1 \right) = \frac 4 3 \left(\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1\right) = \frac 4 3 (w^2 + 1) $$ y luego $dw = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\,dx
Finalmente tienes $$ (\text{constante})\cdot \int \frac{dw}{w^2 + 1} = \text{constante}\cdot\arctan(w) + c $$ y luego lo conviertes a una función de $x$.
