Cómo realizar el producto de cuña

Question

He escuchado todo tipo de cosas positivas sobre el álgebra Clifford/Geométrica, pero no puedo encontrar buenos recursos. He estado buscando EN TODAS PARTES un solo ejemplo real de un producto wedge siendo calculado y de un bi-, tri- o cualquier multivector siendo escrito con números reales. Cada artículo y video solo habla de propiedades, lo cual está bien, pero tengo dificultades para entender cómo usar algo sin un ejemplo sólido.

¿Podrías por favor calcular realmente un producto wedge entre algunos vectores? Como [1, 3, -2] [5, 2, 8]? O cualquier otro ejemplo con valores. ¡Cuántos más ejemplos, mejor!

¡Muchas gracias!

Answer 1

Supongo que tu notación $[v^1,v^2,v^3]$ significa un vector $\mathbf v \in V \equiv \mathbb R^3$ donde $$\mathbf v = v^1\ \mathbf e_1 + v^2\ \mathbf e_2 + v^3\ \mathbf e_3. $$ El operador de la cuña es un operador bilineal, antisimétrico que toma dos vectores $\mathbf v, \mathbf w \in V$ y produce un bivector $\mathbf v \wedge \mathbf w \in \Lambda^2(V)$ tal que $$\begin{split} \mathbf v \wedge \mathbf w &= (v^1\ \mathbf e_1 + v^2\ \mathbf e_2 + v^3\ \mathbf e_3) \wedge (w^1\ \mathbf e_1 + w^2\ \mathbf e_2 + w^3\ \mathbf e_3) \\ &= v^1 w^1\ \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_1 + (v^1 w^2 - v^2 w^1)\ \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 + (v^1 w^3 - v^3 w^1)\ \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3 \\ &\quad + v^2w^2\ \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_2 + (v^2 w^3 - v^3 w^2)\ \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 + v^3w^3\ \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_3 \\ &= (v^1 w^2 - v^2 w^1)\ \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 + (v^1 w^3 - v^3 w^1)\ \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3 + (v^2 w^3 - v^3 w^2)\ \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3. \end{split}\tag1$$ Si te estás preguntando porqué hice estas simplificaciones:

• La cuña es bilinieal, es decir, $(a\mathbf v + b \mathbf w) \wedge \mathbf x = a(\mathbf v \wedge \mathbf x) + b(\mathbf w \wedge \mathbf x)$ y lo mismo en el segundo término, así que esto nos permite distribuirlo a través de las combinaciones lineales en los paréntesis después del primer signo de igual, y sacar los coeficientes;
• La cuña es antisimétrica, es decir, $\mathbf v \wedge \mathbf w = - \mathbf w \wedge \mathbf v$, lo cual implica $\mathbf v \wedge \mathbf v = \mathbf 0$, así que esto nos permite "reordenar" $a(\mathbf e_2 \wedge \mathbf e_1) = - a (\mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2)$, etc., en la segunda línea, y simplificar $b (\mathbf e_1 \wedge \mathbf e_1) = b\ \mathbf 0 = \mathbf 0$, etc., en la tercera.

Observa que si configuras $$\begin{split} \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 &\mapsto \mathbf e_3, \\ \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3 &\mapsto - \mathbf e_2, \\ \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 &\mapsto \mathbf e_1, \end{split}\tag2$$ ¡obtienes el producto cruzado $\mathbf v \times \mathbf w$! Dado que $\{\mathbf e_i \wedge \mathbf e_j,\ 1\leq i < j\leq n\}$ resulta ser una base para $\Lambda^2(V)$ cuando $\dim V = n$, $(2)$ define un mapeo bilineal $\star : \Lambda^2(V) \to \Lambda^1(V) \equiv V$ que se llama dual de Hodge y que en realidad se puede generalizar a dimensiones superiores. Sin embargo, es básicamente solo en la dimensión $3$ que toma esta forma simple y familiar (esto es porque $\dim \Lambda^2(V) = \dim V$ cuando $n=3$).

En el caso específico donde $$\mathbf v = \mathbf e_1 + 3 \mathbf e_2 -2 \mathbf e_3, \qquad \mathbf w = 5 \mathbf e_1 + 2 \mathbf e_2 + 8 \mathbf e_3, $$ obtienes, a partir de $(1)$, $$\begin{split} \mathbf v \wedge \mathbf w &= -13\ \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 + 18\ \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3 +28\ \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 . \end{split}$$ Como confirmación, observa que $\star(\mathbf v \wedge \mathbf w) = \mathbf v \times \mathbf w$.

Si te interesa el lado "concreto" del álgebra exterior, te sugiero que le eches un vistazo al Álgebra Lineal a Través de Productos Exteriores de Sergei Winitzki, que está disponible en línea de forma gratuita. Él introduce estos conceptos muy abstractos, como productos tensoriales, productos de cuña, dualidad de Hodge, etc., pero siempre logra incluir ejemplos computacionales simples que muestran cómo funcionan. Puedes encontrar el libro aquí.

Answer 2

¡He estado buscando EN TODAS PARTES un ejemplo real de cómo se calcula un producto de cuña y de cómo se escribe un bi-, tri- o cualquier multivector con números reales!

La razón por la que esto sucede es porque el producto de cuña de dos vectores no es simplemente una serie de números. Claro, todo espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo al espacio vectorial de las tuplas de esa longitud, por lo tanto puedes describirlo como una serie de números (mapeándolo con ese isomorfismo que simplemente mapea la base de tu espacio a alguna base de las tuplas). Sin embargo, ¿es eso significativo hacerlo? En algunos casos podría serlo pero en general debes darte cuenta de que esta es solo una elección arbitraria. Hay muchas bases, por lo que puedes hacer esto de muchas maneras.

En el caso tridimensional hay un mapa importante, la isomorfismo de Hodge, que te da una forma de representar el producto de cuña de dos vectores con un vector de tu espacio original (esto es en realidad el producto cruz, si eliges los parámetros correctos para el mapa), sin embargo este mapa requiere dos parámetros extras que introducen más estructura a tu espacio (es decir, producto interno y una elección de forma de volumen).

En el caso de $(1, 3, -2) \wedge (5, 2, 8)$, no hay mucho más que puedas hacer que elegir una base arbitraria de tu espacio original y expresar ese producto en términos de los vectores de la base. Por ejemplo $$(1,3,-2) = 1(1, 0, 0) + 3(0,1,0) -2(0,0,1)$$ $$ (5,2,8) = 5(1, 0, 0) + 2(0,1,0) +8(0,0,1) $$ $$ (1,3,-2) \wedge (5,2,8) = (1(1, 0, 0) + 3(0,1,0) -2(0,0,1)) \wedge (5(1, 0, 0) + 2(0,1,0) +8(0,0,1)) = 5 (1, 0, 0) \wedge (1, 0, 0) + 15 (0,1,0) \wedge (1, 0, 0) - 10 (0,0,1) \wedge (1, 0, 0) + 2 (1, 0, 0) \wedge (0,1,0) - 4 (0,0,1) \wedge (0,1,0) + 8 (1, 0, 0) \wedge (0,0,1) + 24 (0,1,0) \wedge (0,0,1) - 16 (0,0,1) \wedge (0,0,1) = -15 (1, 0, 0) \wedge (0,1,0) + 2 (1, 0, 0) \wedge (0,1,0) + 10 (1, 0, 0) \wedge (0,0,1) + 8 (1, 0, 0) \wedge (0,0,1) + 24(0,1,0) \wedge (0,0,1) + 4 (0,1,0) \wedge (0,0,1) = 28 (0,1,0) \wedge (0,0,1) + 18 (1, 0, 0) \wedge (0,0,1) - 13 (1, 0, 0) \wedge (0,1,0) $$

O ahora usando el mencionado isomorfismo arbitrario (mapeando esa base elegida a la base elegida de las tuplas) puedes mapearlo a simplemente una serie de números, por lo tanto (28,18, -13) pero eso no es muy significativo porque no muestra explícitamente la base.

Answer 3

El producto de cuña se refiere al álgebra exterior, no al álgebra de clifford (aunque puede ser emulado en este último).

Entonces, supongamos que tienes vectores $x=(1,3,-2)$ y $y=(5,2,8)$. Sea $\{e_1,e_2,e_3\}$ la base de nuestro espacio vectorial $\mathbb R^3$, por lo tanto $x=1\cdot e_1 + 3 \cdot e_2 - 2 \cdot e_3$ y $y=5\cdot e_1 + 2 \cdot e_2 + 8 \cdot e_3$.

El producto de cuña de dos vectores, estrictamente hablando, no es un vector del mismo espacio $V$, sino del cuadrado exterior $\Lambda ^2V$. Si $\dim V=n$, entonces $\dim \Lambda^2 V = \frac{n(n-1)}{2}$. Sin embargo, en tres dimensiones, sucede que $\dim \Lambda^2 V=\frac{3\cdot 2}{2}=3$.

Las reglas principales para productos de cuña son $a \wedge a=0$ y $a \wedge b = - b \wedge a$. Una base común para $\Lambda^2 \mathbb R^3$ es $\{e_2 \wedge e_3, e_3 \wedge e_1, e_1 \wedge e_2\}$.

Entonces, vamos a sustituir todo (y recordar que $\wedge$ es bilineal):

$$x\wedge y=(1\cdot e_1 + 3 \cdot e_2 - 2 \cdot e_3) \wedge (5\cdot e_1 + 2 \cdot e_2 + 8 \cdot e_3) = \\ 1\cdot 5 \cdot e_1 \wedge e_1 + 1\cdot 2 \cdot e_1 \wedge e_2 + 1\cdot 8 \cdot e_1 \wedge e_3 + \\ 3\cdot 5 \cdot e_2\wedge e_1 +3\cdot 2 \cdot e_2\wedge e_2 +3\cdot 8 \cdot e_2\wedge e_3 - \\ 2\cdot 5 \cdot e_3\wedge e_1 -2\cdot 2 \cdot e_3\wedge e_2 -2\cdot 8 \cdot e_3\wedge e_3 = \\ 5 \cdot \mathbb O + 2 \cdot e_1 \wedge e_2 - 8 \cdot e_3 \wedge e_1 - \\ 15 \cdot e_1\wedge e_2 +6 \cdot \mathbb O +24 \cdot e_2\wedge e_3 - \\ 10 \cdot e_3\wedge e_1 +4 \cdot e_2\wedge e_3 -16 \cdot \mathbb O = \\ 28 \cdot e_2\wedge e_3-18 \cdot e_3\wedge e_1 - 13 \cdot e_1\wedge e_2 $$

Aquí, $\mathbb O$ denota el vector cero.

Answer 4

Para aquellos que buscan una manera numérica de jugar con álgebras de Clifford y el producto wedge, encontré que este paquete de python es un buen lugar para empezar: https://github.com/pygae/clifford

Suponiendo que estás interesado en usar un espacio euclidiano 3D normal, simplemente puedes correr: from clifford.g3 import * a = 1*e1 + 3*e2 - 2*e3 b = 5*e1 + 2*e2 + 8*e3 c = a^b Esto produce: c = -(13.0^e12) + (18.0^e13) + (28.0^e23) como @giobrach calcula correctamente

EDICIÓN

Para ser totalmente transparente, soy uno de los contribuyentes principales al paquete de python clifford

Answer 5

Aquí está la solución al ejemplo que publicaste.

El producto exterior, también conocido como producto wedge, de dos vectores u y v se define como

$$ v \wedge v = u \otimes v - v \otimes u $$

Donde $ \otimes $ representa el producto tensorial, también conocido como producto externo.

Un vector n-dimensional se representa tradicionalmente como una matriz de n x 1. (Otras representaciones son posibles, pero nos ceñiremos a una convención.)

Entonces, tomando tu ejemplo,

$$ u = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} $$ $$ v = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 8 \end{bmatrix} $$

En notación de matrices $ u \otimes v = u \; v^T $

así que,

$$ u \otimes v = u \; v^T \\ = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 2 & 8 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 8 \\ -2 \cdot 5 & -2 \cdot 2 & -2 \cdot 8 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 8 \\ 15 & 6 & 24 \\ -10 & -4 & -16

y,

$$ v \otimes u = v \; u^T \\ = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2

\endmath-container $$

\= \begin{bmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot 3 & 5 \cdot -2 \\ 2 \cdot 1 & 2 \cdot 3 & 2 \cdot -2 \\ 8 \cdot 1 & 8 \cdot 3 & 8 \cdot -2 \end{bmatrix> \\ = \begin{bmatrix> 5 & 15 & -10 \\ 2 & 6 & -4 \\ 8 & 24 & -16 \end{bmatrix> $$

Esto nos da la respuesta final

$$ u \wedge v = u \otimes v - v \otimes u = \\ \begin{bmatrix> 0 & -13 & 18 \\ 13 & 0 & 28 \\ -18 & -28 & 0 \end{bmatrix> $$

Como puedes ver, el producto wedge de dos vectores n-dimensionales resulta en una matriz antisimétrica. En esta matriz, solo hay 3 componentes únicos (los que están confinados al triángulo superior derecho). Usando estos 3 componentes, podemos crear un nuevo vector tridimensional que se define como el producto cruz de u y v.

En la literatura, el producto wedge a veces se intercambia libremente con el producto cruz. Están estrechamente relacionados pero no son idénticos. El producto cruz es un caso especial del producto wedge. El producto cruz solo está definido para dos vectores tridimensionales.