Demuestra que en cualquier variedad $M$ existe una aplicación suave adecuada $f: M \to \mathbb R$.

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta:

Demuestra que en cualquier variedad $M$ existe una aplicación suave adecuada $f: M \to \mathbb R.$

Una aplicación adecuada entre espacios topológicos es una aplicación tal que la imagen inversa de compactos son compactos.

Hay la siguiente pista: Usa la $\sigma$-compacidad de las variedades y particiones de la unidad.

No tengo ni idea de cómo abordar esta pregunta usando particiones de unidad. ¿Ayuda?

Answer 1

1. La $\sigma$-compacidad implica: Existe una familia localmente finita $(U_n)_{n\in\mathbb N}$ de conjuntos abiertos relativamente compactos que cubren la variedad, es decir, $M = \bigcup_{n\in\mathbb N} U_n$.

2. Existe una partición suave de la unidad $(\phi_n)$ subordinada a $(U_n)$.

3. Para $x\in M$, definimos $f(x) = \sum_{n\in\mathbb N} n \cdot \phi_n(x)$. $f$ define una función suave en $M$ ya que $(U_n)$ es localmente finita. Es propia, ya que para cualquier $k\in\mathbb N$ y cualquier $x \notin U_0 \cup \dots \cup U_k$, \begin{equation} f(x) = \sum_{n>k} n\cdot \phi_n(x) \ge (k+1) \sum_{n>k} \phi_n(x) = k+1, \end{equation} de donde $f^{-1}([0,k]) \subset U_0 \cup \dots \cup U_k$ para todo $k\in \mathbb N$ - en particular, para cualquier compacto $K\subset \mathbb R$, $f^{-1}(K)$ es un conjunto cerrado contenido en algún conjunto (relativamente) compacto de nuestra variedad $M$, y por lo tanto también es compacto.

La respuesta también se puede encontrar en libros de texto estándar, como Bredon o Lee.