La función zeta de Riemann se puede expresar como una serie infinita, así como un producto infinito de Euler sobre primos $p$.
$$ \zeta(s) = \sum_n 1/n^s = \prod_p(1-1/p^s)^{-1} $$
Aquí $s=\sigma+it$ y la función está definida para $\sigma>1$.
Una pregunta natural es si hay ceros en la región $\sigma>1$.
Pregunta: ¿Es suficiente y correcta la siguiente prueba esquemática?
Paso 1
Observamos que ninguno de los factores $(1-1/p^s)^{-1}$ es nunca cero, porque $p^s = e^{s\ln(p)} \neq 0$ para $\sigma>1$.
Paso 2
El paso anterior es insuficiente. También necesitamos demostrar que el producto infinito no converge a cero.
Para hacer esto, utilizamos los siguientes criterios de convergencia:
- si $\sum|a_n|$ converge, entonces $\prod(1+a_n)$ converge a un valor finito no nulo.
Paso 3
En este caso $\sum |a_n| = \sum 1/p^s$, que sabemos que converge para $\sigma > 1$.
Por lo tanto, el Producto de Euler converge a un valor finito no nulo.
