Dos matrices absorbentes diferentes aparentemente dando la misma respuesta.

Question

¿Podría alguien explicarme cómo estas dos matrices absorbentes,

$ M_1 = \left[ \begin{array}{ccccc} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]^n $

$ M_2 = \left[ \begin{array}{ccccc} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]^n $

al ser enumeradas, parecen tener el elemento de la primera fila y la quinta columna siempre iguales entre sí?

En cuanto a antecedentes, estas matrices pueden ser usadas para calcular las probabilidades de obtener 4 unos consecutivos o cuatro doses seguidos al tirar un dado de 3 lados. Entonces, para un dado etiquetado como $\{1, 2, 3\}$, te importa si obtienes $\{..., 1, 1, 1, 1, ...\}$ o $\{..., 2, 2, 2, 2, ...\}$. $M_2$ es más intuitiva en el diseño de modelos de estado, mientras que accidentalmente encontré que $M_1$ es una solución válida.

También, podría estar equivocado en que los dos elementos mencionados son iguales $\forall \mathbb{Z^*}$, lo cual he probado exhaustivamente, pero no he podido encontrar una forma cerrada para.

Answer 1

Supongamos que las caras del dado son A, B, C.

(1,5) de la segunda matriz es, como dijiste, la probabilidad de que dentro de n pasos hayas visto cuatro As seguidas o cuatro Bs seguidas.

(1,5) de la primera matriz es la probabilidad de que dentro de n pasos hayas visto tres As seguidas, luego algo que no sea un A.

En la segunda matriz, tienes una probabilidad de 2/3 de comenzar tal subsecuencia (desde cero), una probabilidad de 1/3 de continuarla (dos veces) y una probabilidad de 1/3 de terminarla.

En la primera matriz, tienes una probabilidad de 1/3 de comenzar tal subsecuencia (desde cero), una probabilidad de 1/3 de continuarla (dos veces) y una probabilidad de 2/3 de terminarla.

Hay algunas complicaciones más porque las probabilidades de no estar en una subsecuencia frente a la probabilidad de reiniciar una subsecuencia en medio también deben equilibrarse, pero ese es el concepto básico de ello.