Esperanza condicional equivale variable aleatoria casi seguro

Question

Deje $X$$\mathfrak{L}^1(\Omega,\mathfrak{F},P)$$\mathfrak{G}\subset \mathfrak{F}$.

Probar que si $X$ $E(X|\mathfrak{G})$ tienen la misma distribución, entonces son iguales casi seguramente.

Yo sé lo que tengo que demostrar, que $X$ $\mathfrak{G}$ medibles, pero no sé cómo...

Answer 1

Vamos a denotar $Y = E(X|\mathfrak{G})$

$\color{blue}{\text{Step 1:}}$ supongamos $X \in L^2$, entonces a partir de la $EX^2 = EY^2$, tenemos \begin{align} E\left(X - Y\right)^2 =& E(X^2) - 2E(XY) + E(Y^2) \\ =& EX^2 + EY^2 - 2E\left(E(XY|\mathfrak{G})\right) \\ =& EX^2 + EY^2 - 2E\left(YE(X|\mathfrak{G})\right) \\ =& EX^2 + EY^2 - 2EY^2 = 0 \end{align}

por lo $X=Y$ casi seguramente.

$\color{blue}{\text{Step 2:}}$ Ahora quitamos el supuesto de $X \in L^2$. Entonces, tenemos que considerar la posibilidad de $X' = X\wedge a \vee b$$Y' = Y\wedge a \vee b$, es decir, la versión truncada de $X$$Y$. Vamos a ver $X' = Y'$ casi seguramente, a continuación, mediante el envío de $a \to +\infty$$b\to -\infty$, vemos a $X = Y$ casi seguramente.

Para demostrar $X'= Y'$ casi seguramente, vamos a probar a $E(X'|\mathfrak{G}) = Y'$, entonces a partir de la $X'$ $Y'$ aún tienen la misma distribución, por $\color{blue}{\text{Step 1}}$ ver $X' = Y'$ casi seguramente.

Todo lo que necesitamos hacer ahora es demostrar $$E(X'|\mathfrak{G}) = Y'$$

Primero de todo, $Y'$ $\mathfrak{G}$- medible.

Entonces, por la desigualdad de Jensen aplicado en la esperanza condicional, tenemos $$E(X\wedge a|\mathfrak{G}) \leq E(X|\mathfrak{G})\wedge a = Y\wedge a$$

Sin embargo, desde la $E(X\wedge a) = E(Y\wedge a)$, la desigualdad anterior no puede ser estricta en un conjunto de probabilidad positiva, por lo que tenemos

$$E(X\wedge a|\mathfrak{G}) = Y\wedge a$$

Por un argumento similar, obtenemos

$$E(X\wedge a \vee b|\mathfrak{G}) = Y\wedge a\vee b$$

Answer 2

Aquí, la principal dificultad es que no hay que asumir la finitud de la expectativa de $X^2$.

Fijar un número real $x$ y definen $A:=\{X\leqslant x\}$$B:=\{\mathbb E[X\mid\mathcal G]\leqslant x\}$. El uso de la asunción, tenemos $$\mathbb E[X\chi(A)]=\mathbb E[X\chi(B)].$$

En efecto, desde el $B$ pertenece a $\mathcal G$, tenemos $$\mathbb E[X\chi(B)]=\mathbb E[\mathbb E[X\mid\mathcal G]\chi(B)] =\mathbb E[\mathbb E[X\mid\mathcal G]\chi\{\mathbb E[X\mid\mathcal G]\leqslant x\}],$$ y las variables aleatorias $X\chi\{X\leqslant x\}$ $\mathbb E[X\mid\mathcal G]\chi\{\mathbb E[X\mid\mathcal G]\leqslant x\}$ tienen la misma distribución.

Definir $C_1:=A\setminus B$$C_2:=B\setminus A$. Desde $\mathbb P(A)=\mathbb P(B)$, tenemos $$\mathbb E\left[(X-x)\chi(C_1)\right]=\mathbb E[(X-x)\chi(C_2)].$$ Como $(X-x)\chi(C_1)\leqslant 0\leqslant (X-x)\chi(C_2)$, obtenemos que $\mathbb P(A\Delta B)=0$. Definir $A':=\{X\geqslant -x\}$$B':=\{\mathbb E[X\mid\mathcal G]\geqslant -x\}$. El argumento de los usos con $-X$ en lugar de $X$, obtenemos $\mathbb P(A'\Delta B')=0$. La definición de $A'':=A\cap A'$$B'':=B\cap B'$, $\mathbb P(A''\Delta B'')=0$ por lo tanto $$\mathbb E[\left(\mathbb E[X\mid\mathcal G]\right)^2\chi(A'')]=\mathbb E[\left(\mathbb E[X\mid\mathcal G]\right)^2\chi(B'')]=\mathbb E[X^2\chi(|X|\leqslant x)]$$ y $$\mathbb E\left[X\mathbb E[X\mid\mathcal G]\chi(A'')\right]=\mathbb E[\left(\mathbb E[X\mid\mathcal G\right)^2\chi(B'')],$$ por lo tanto $$\mathbb E\left[\left(X-\mathbb E[X\mid\mathcal G]\right)^2\chi\{|X|\leqslant x\}\right]=0.$$ Como $x$ es arbitrario, la conclusión de la siguiente manera.