Lo incontable menos lo incontable es a lo sumo contable? Topología cocountable

Question

Sea $A$ un conjunto no numerable. Sea $B \subseteq A$ un subconjunto propio no numerable de $A$. ¿Es cierto que $A-B$ es a lo sumo numerable?

Creo que puedo encontrar un contraejemplo: Sean $B, C$ conjuntos no numerables tales que $B \cap C = \emptyset$. Luego sea $A = B \cup C$. Entonces $A - B = C$ es no numerable.

Sin embargo, estoy intentando probar algo sobre la topología cocountable en un conjunto no numerable $X$. Estoy tratando de describir sus conjuntos abiertos pero no estoy seguro de cómo encontrar subconjuntos de $X$ cuyo complemento sea a lo sumo numerable.

¡Gracias!

Answer 1

Su contraejemplo está bien. Sin embargo, aunque "la mayoría" de los subconjuntos no numerables de $X$ tendrán un complemento no numerable, eso no significa que los subconjuntos cocountables sean difíciles de encontrar, una vez que sepas cómo buscarlos.

No estoy seguro de cómo encontrar subconjuntos de $X$ cuyo complemento sea a lo sumo numerable.

Toma cualquier subconjunto a lo sumo numerable (la mayoría de la gente simplemente diría "numerable", ya que eso suele incluir lo finito) de $X$ y considera su complemento. Será cocountable.

Por ejemplo, si $X=\Bbb R$, entonces tienes los no enteros, o los irracionales, o cualquier número que no sea expresable como un polinomio de $\pi$ con coeficientes enteros como algunos ejemplos.