Tenga en cuenta que escribir $B$ como una combinación lineal de algún conjunto de matrices $\{A_1,\ldots,A_n\}$ significa escribir $B = \alpha_1A_1+\cdots+\alpha_nA_n$ para algunos escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$. En este contexto, la matriz $B$ tendría que ser del mismo tamaño que las matrices $A_1, \ldots, A_n$. Por lo tanto, decir que $B = XAY$ y escribir $B$ como una combinación lineal de $A$ es un uso incorrecto del término combinación lineal.
Supongamos que $B = XAY$ para algunas matrices $X \in \mathbb{R}^{6 \times 3}$ e $Y \in \mathbb{R}^{6 \times 12}$.
Entonces, $\text{rango}(B) = \text{rango}(XAY) \le \min(\text{rango}(X),\text{rango}(A),\text{rango}(Y)) \le \text{rango}(A) \le 3$.
Sin embargo, si $a_{11},a_{12},a_{23},a_{24},a_{35},a_{36}$ son todos diferentes de cero, entonces $\text{rango}(B) = 6$.
Por lo tanto, no existen matrices $X \in \mathbb{R}^{6 \times 3}$ e $Y \in \mathbb{R}^{6 \times 12}$ tales que $B = XAY$ para todos los valores de $a_{11},a_{12},a_{23},a_{24},a_{35},a_{36}$.
Dado que también preguntaste si podríamos escribir $B$ de alguna otra forma:
Sea $X_1 = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}$, $Y_1 = \begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\end{bmatrix}$,
y $X_2 = \begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$, $Y_2 = \begin{bmatrix}0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0
