Encuentra todos los $n\in\mathbb Z$ que satisfacen $1^n+9^n+10^n=5^n+6^n+11^n$
para $n=2\ or\ n=4$ es igual pero ¿hay otros números?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tito Piezas III
Puntos
13051
En general, la conjetura de Lander-Parkin-Selfridge establece que,
$$x_1^k+x_2^k = y_1^k+y_2^k\tag{1}$$
no tiene soluciones racionales no triviales para $k>4$,
$$x_1^k+x_2^k+x_3^k = y_1^k+y_2^k+y_3^k\tag{2}$$
no tiene ninguna para $k>6$, y así sucesivamente. Entonces, para tu pregunta, no es necesario verificar $k>6$.
De nuevo, para valores más grandes de $x_i,y_i$, siempre se puede sorprender. Por ejemplo, tenemos,
$$15^6 + 18^6 = 19^6 + (-118)^3$$
$$1118^8 + 1937^8 + 2502045^4 = 455^8 + 1846^8 + 3200691^4$$
y un número infinito de soluciones coprimas como esta que casi, pero no del todo, violan $(1)$ y $(2)$.
Shabaz
Puntos
403
Has probado todos los valores de $0$ a $4$. Si notas que $11^5 \gt 10^5+9^5$ y la discrepancia empeora con $n$, sabes que no hay más soluciones. Para $n$ negativo, el lado derecho tendrá una potencia de $11$ en el denominador y el izquierdo no, por lo que no hay soluciones negativas. Los tienes todos.
