Esto no es cierto en general. El siguiente es un contraejemplo:
Para cada $n > 0$, sea $[n] = \{1, \cdots, n\}$. Fije una secuencia $(n_k)_{k \in \mathbb{N}}$ tal que $\prod_{k \in \mathbb{N}} \frac{n_k - 1}{n_k} = \varepsilon > 0$. Sea $X = [2] \times \prod_{k \in \mathbb{N}} [n_k]$ equipado con la topología del producto y el producto $\mu$ de medidas de conteo normalizadas. Observamos que $X$ es compacto y metrizable, por lo que podemos considerarlo como un espacio métrico compacto. $\mu$ se ve fácilmente que es una medida de probabilidad de Borel. Para fines notacionales, llamaremos a la coordenada $[2]$ la coordenada cero y a la coordenada $[n_k]$ la coordenada $k$-ésima. Sea $f: X \rightarrow [2] = \{1, 2\}$ la proyección en la coordenada cero. $f$ es obviamente continua.
Ahora, construimos $A_n$ de la siguiente manera: Se genera mediante la siguiente partición de $X$ en subconjuntos clopen,
$$\left\{[2] \times \{p\} \times \prod_{k > n} [n_k]: p \in \prod_{k = 1}^n [n_k], \textrm{ninguna coordenada de }p\textrm{ es }1\right\} \cup \left\{\{1\} \times \{p\} \times \prod_{k > n} [n_k], \{2\} \times \{p\} \times \prod_{k > n} [n_k]: p \in \prod_{k = 1}^n [n_k], \textrm{alguna coordenada de }p\textrm{ es }1\right\}$$
Observamos fácilmente que estas particiones se vuelven más finas a medida que $n$ aumenta, por lo tanto $A_n$ es una secuencia creciente de $\sigma$-álgebras. Uno puede calcular que,
$$\mathbb{E}(f\mid A_n)(p) = \begin{cases} f(p), & \textrm{si alguna coordenada entre el primer y el }n\textrm{-ésimo lugar es }1\\ \frac{3}{2}, & \textrm{de lo contrario} \end{cases}$$
Dado que $\mathbb{E}(f\mid A_n) \rightarrow \mathbb{E}(f\mid A)$, vemos que,
$$\mathbb{E}(f\mid A)(p) = \begin{cases} f(p), & \textrm{si alguna coordenada distinta de cero de } p \textrm{ es }1\\ \frac{3}{2}, & \textrm{de lo contrario} \end{cases}$$
Sea $F = \mathbb{E}(f\mid A)$. Dado que $\textrm{rango}(f) = \{1, 2\}$, si $F$ es casi en todas partes igual a una función continua, debemos tener en particular que $F^{-1}(\frac{3}{2})$ es, hasta un conjunto nulo, clopen. Sin embargo, $F^{-1}(\frac{3}{2})$ está dado por
$$F^{-1}\left(\frac{3}{2}\right) = [2] \times \prod_{k \in \mathbb{N}} ([n_k] \setminus \{1\})$$
Este conjunto es cerrado, con interior vacío (ya que cualquier conjunto abierto debe contener un conjunto abierto básico, y por definición de la topología del producto cualquier conjunto abierto básico solo puede poner restricciones en finitas coordenadas), y tiene medida $\prod_{k \in \mathbb{N}} \frac{n_k - 1}{n_k} = \varepsilon > 0$. Si $O$ es un conjunto abierto que coincide con $F^{-1}(\frac{3}{2})$ hasta un conjunto nulo, entonces $O \setminus F^{-1}(\frac{3}{2})$ es un conjunto abierto con medida cero. Aplicando los mismos argumentos que muestran que $F^{-1}(\frac{3}{2})$ tiene interior vacío, vemos que el único conjunto abierto con medida cero es el conjunto vacío. Por lo tanto, $O \setminus F^{-1}(\frac{3}{2}) = \varnothing$, es decir, $O \subseteq F^{-1}(\frac{3}{2})$. Pero este último conjunto no tiene interior, por lo que $O = \varnothing$. Pero $O$ coincide con $F^{-1}(\frac{3}{2})$ hasta un conjunto nulo, por lo que en particular $\mu(O) = \mu(F^{-1}(\frac{3}{2})) = \varepsilon > 0$, una contradicción.
