Todas las medidas $\alpha,\beta$ en $[0,1]$ que satisfacen ciertas condiciones de momento

Question

Este es un problema que encontré al intentar encontrar algunas propiedades relacionadas con secuencias intercambiables. De todas formas, no puedo encontrar una caracterización de todas las soluciones... Sé que hay al menos dos soluciones completamente diferentes, ¿es posible encontrar todas?

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Problema: Encuentra todos los pares de medidas (finitas y no negativas) $\alpha, \beta$ definidas en la $\sigma$-álgebra de Borel de $[0,1]$ que satisfacen las siguientes tres condiciones:

(i) $\int_0^1\alpha(\mathrm{d}x)=2+\int_0^1\beta(\mathrm{d}x)$

(ii) $\int_0^1 x\alpha(\mathrm{d}x)=1+\int_0^1x\beta(\mathrm{d}x)$

(iii) $\int_0^1 x^2\alpha(\mathrm{d}x)=\int_0^1x^2\beta(\mathrm{d}x)$

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Answer 1

La diferencia $\gamma = \alpha - \beta$ es una medida firmada. El funcional lineal acotado correspondiente $\phi$ en $C[0,1]$ debe satisfacer $\phi(1) = 2$, $\phi(x) = 1$, $\phi(x^2) = 0$. Dado que $1$, $x$ y $x^2$ son linealmente independientes, esto define un subconjunto afín de $M[0,1]$ de codimensión $3$. Un subespacio típico de $3$ dimensiones de $M[0,1]$ lo interceptará.

Por ejemplo, considera las medidas $\delta_0$ (la masa unitaria en $0$), $\delta_1$ (masa unitaria en $1$) y $m$ (medida de Lebesgue). La combinación lineal $\gamma = c_1 \delta_0 + c_2 \delta_1 + c_3 \delta_3$ satisface las condiciones si $$\eqalign{c_1 + c_2 + c_3 &= 2\cr c_2 + c_3/2 &= 1\cr c_2 + c_3/3 &= 0\cr}$$ que tiene solución $c_1 = -2$, $c_2 = -2$, $c_3 = 6$. Escribamos esto como $\gamma_0 = -2 \delta_0 - 2 \delta_1 + 6 m$.

La medida firmada general $\gamma$ en $[0,1]$ que satisface $\int 1\; d\mu = 2, \int x \; d\mu = 1, \int x^2 \; d\mu = 0$ es $\gamma = \gamma_0 + \nu$ donde $\nu$ es una medida firmada con $\int 1\; d\nu = \int x \; d\nu = \int x^2\; d\nu = 0$. Para cualquier $\gamma$ así, permita que $\gamma = \gamma_+ - \gamma_-$ sea su descomposición de Hahn en partes positivas y negativas, y permita que $\rho$ sea cualquier medida de Borel finita positiva. Entonces $\alpha = \gamma_+ + \rho$, $\beta = \gamma_- + \rho$ es una solución a tu problema.