Aplicar verdades vacuas a las implicaciones del mundo real

Question

Aquí hay una implicación que me confunde cuando pienso en ella:

$\qquad$ Estoy sosteniendo un bolígrafo $\implies$ Está lloviendo afuera.

Esta implicación parece decir que lloverá afuera siempre que sostenga un bolígrafo.

Si no estoy sosteniendo un bolígrafo, la implicación es verdadera. Pero, ¿cómo puede ser esto así si simplemente puedo sostener un bolígrafo y ver que no llueve? Supongo que las implicaciones pueden ser verdaderas a veces y falsas otras veces, por lo que el hecho de que sostenga un bolígrafo y vea que no llueve no prueba que la implicación sea siempre falsa. Pero si este es el caso, ¿qué significa incluso que la implicación sea verdadera, para las veces en que no sostengo un bolígrafo?

$$$$ Puedo ver que la implicación

$\qquad$ Estoy sosteniendo un bolígrafo $\implies$ Falso,

sería verdadera cuando no sostengo un bolígrafo, incluso si su consecuencia nunca es verdadera. Y cada vez que sostengo un bolígrafo, la consecuencia en la implicación será falsa.

Answer 1

Estoy seguro de que otras personas han dicho esto en algún lugar de math stackexchange, pero leyendo las respuestas propuestas como duplicadas, veo mucho espacio para la confusión, así que creo que probablemente sea más fácil simplemente escribir una aclaración aquí.

La definición lógica de implicación realmente no se alinea con la definición coloquial de implicación a menos que incluyas un cuantificador universal.

En tu ejemplo, coloquialmente no diríamos que la afirmación "Si estás sosteniendo un bolígrafo, entonces está lloviendo afuera" es verdadera, aunque lógicamente a veces sea cierta, porque lo que importa es si es siempre cierta.

La forma correcta de traducir la afirmación a una afirmación lógica es decir "En todo momento, si estás sosteniendo un bolígrafo, entonces está lloviendo afuera." La parte "en todo momento" de la oración (que es un cuantificador universal) asegura que, para que la oración sea verdadera, no solo estamos interesados en el momento actual en particular, sino en todos los momentos posibles. Entonces, para decir que la afirmación es falsa, solo necesitamos encontrar un contraejemplo, un momento particular en el que estabas sosteniendo un bolígrafo y era un día despejado afuera. Lo cual, como dijiste, se puede lograr fácilmente simplemente levantando tu bolígrafo en un día claro.

Answer 2

Como no tanto una prueba como una justificación informal, llenemos la tabla de verdad para $A\Rightarrow B$. Empezamos con:

$$\begin{array}{c|c|c|c} \space&A&B&A\Rightarrow B\\\hline 1&T&T&\\ 2&T&F&\\ 3& F&T&\\ 4&F&F& \end{array}$$

Consideremos dos casos.

Caso 1

Supongamos que $A \Rightarrow B$ es verdadero.

Consideremos dos sub-casos.

Sub-caso 1

Supongamos que $A$ es verdadero. Dado que $A \Rightarrow B$ es verdadero, entonces $B$ también debe ser verdadero. Ahora podemos llenar la fila 1:

$$\begin{array}{c|c|c|c} \space&A&B&A\Rightarrow B\\\hline 1&T&T&T\\ 2&T&F&\\ 3& F&T&\\ 4&F&F& \end{array}$$

Sub-caso 2

Supongamos que $A$ es falso (su caso vacío). Entonces no podemos concluir nada sobre $B$ a partir de $A \Rightarrow B$. $B$ podría ser verdadero, o podría ser falso. Ahora podemos llenar las líneas 3 y 4:

$$\begin{array}{c|c|c|c} \space&A&B&A\Rightarrow B\\\hline 1&T&T&T\\ 2&T&F&\\ 3& F&T&T\\ 4&F&F&T \end{array}$$

Caso 2

Supongamos que $A\Rightarrow B$ es falso. Entonces $A$ tendría que ser verdadero y $B$ tendría que ser falso. Ahora podemos llenar la línea restante 2:

$$\begin{array}{c|c|c|c} \space&A&B&A\Rightarrow B\\\hline 1&T&T&T\\ 2&T&F&F\\ 3& F&T&T\\ 4&F&F&T \end{array}$$

Answer 3

¿Qué significa realmente que la implicación sea verdadera?

Aquí están los cuatro tipos de ‘implicar’:

1. $P$ implica $R$

   • Algun número complejo es real implica que cada número positivo es real.

2. para cada $x, Px$ implica $Rx\qquad\leftarrow$implicación universal

   • Cada múltiplo de $6$ es par.

3. $P$ implica lógicamente $R$

   • $\big(A\to\exists y\,By\big)\,$ implica lógicamente $\,\exists y\big(A\to By\big).$

4. $Px$ implica lógicamente universalmente $Rx$

   • $x\not=x\:$ implica lógicamente universalmente $\,Rx.$

(Hablando en términos generales, una verdad lógica es una oración que es verdadera independientemente de cómo se interpreten sus símbolos. Para los ejemplos 1 y 2, el contexto es el análisis matemático.)

$\qquad$ Estoy sosteniendo un bolígrafo $\implies$ Está lloviendo afuera.$\qquad(1)$

Esta implicación parece decir que lloverá afuera siempre que sostenga un bolígrafo.

No, en realidad no: este ejemplo Tipo 1 es una implicación sintética (su contexto específico podría ser en este momento, en Ximending, Taipei), no una implicación analítica o verdad general que sugiera una predicción acerca de "lloverá / no lloverá".

Si sostengo un bolígrafo y veo que no llueve, eso no prueba que la implicación siempre sea falsa.

En realidad sí: tu descripción significa precisamente que la implicación $(1)$ es falsa.

Lo cual no quiere decir que sea lógicamente falsa: claramente, es verdadera en algún otro escenario/contexto.

En contraste, la implicación

$\qquad$ "Estoy sosteniendo un bolígrafo y cada persona sin objetos no está sosteniendo ningún objeto implica que yo no estoy sin objetos"

es lógicamente verdadera (Tipo 3 arriba). Cuando estás escribiendo lo siguiente y quieres analizar implicaciones en diferentes contextos, probablemente estás pensando en los Tipos 2-4 arriba, mientras que la verdad vacua en el contexto del Tipo 1 realmente es solo un asunto de definición:

la implicación es siempre falsa

la implicación es verdadera, para los momentos en los que no sostengo un bolígrafo

la implicación sería verdadera cuando no sostengo un bolígrafo

cada vez que sostengo un bolígrafo, la consecuencia en la implicación será falsa.