¿Inyección de $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$ en $\tilde{E}(\mathbb{F}_p)$?

Question

Estoy mirando el Ejemplo VII.3.3.3 (p.193, 2da ed.) de The Arithmetic of Elliptic Curves de Silverman. Tenemos la curva elíptica $E:y^2=x^3+x$, con discriminante $\Delta=-64$, por lo que hay buena reducción para todos los primos $p\geq 3$. Se nota que $(0,0)$ es un punto de orden dos en $E(\mathbb{Q})$, y que $$\tilde{E}(\mathbb{F}_3)=\{\mathcal{O},(0,0),(2,1),(2,2)\}\cong\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$ $$\tilde{E}(\mathbb{F}_5)=\{\mathcal{O},(0,0),(2,0),(3,0)\}\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$$ Luego se dice que

Dado que $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$ se inyecta en ambos de estos grupos, vemos que $(0,0)$ es el único punto de torsión no nulo en $E(\mathbb{Q})$.

Ahora, mi entendimiento de la Proposición VII.3.1b (p.192, 2da ed.) es que para cualquier campo local con valor discreto $K$ con campo residual $k$, el mapa de reducción de $E(K)[m]$ a $\tilde{E}(k)$ es inyectivo para todo $\gcd(m,\text{char}(k))=1$, donde $E(K)[m]$ denota el subgrupo de torsión $m$ de $E(K)$. Por lo tanto, estamos viendo las composiciones $$E(\mathbb{Q})[m]\hookrightarrow E(\mathbb{Q}_3)[m]\hookrightarrow \tilde{E}(\mathbb{F}_3)\quad\text{ para todo }3\nmid m$$ $$E(\mathbb{Q})[n]\hookrightarrow E(\mathbb{Q}_5)[n]\hookrightarrow \tilde{E}(\mathbb{F}_5)\quad\text{ para todo }5\nmid n$$ Parece que lo mejor que podemos decir (creo) es que la parte libre de la torsión de $3$ en $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$ se inyecta en $\tilde{E}(\mathbb{F}_3)$, y la parte libre de la torsión de $5$ en $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$ se inyecta en $\tilde{E}(\mathbb{F}_5)$. Esto claramente implica que $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$ debe tener orden 2 en este caso particular, porque $\tilde{E}(\mathbb{F}_5)$ es libre de torsión de $3$ y $\tilde{E}(\mathbb{F}_3)$ es libre de torsión de $5$; pero me parece que el razonamiento en la declaración entre comillas (al menos sin más explicación) es técnicamente incorrecto.

Si $p$ es un primo de buena reducción para $E$, ¿es cierto que toda $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$ se inyecta en $\tilde{E}(\mathbb{F}_p)$, o solo que $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}[m]$ se inyecta en $\tilde{E}(\mathbb{F}_p)$ para cualquier $m$ relativamente primo a $p$ (y por lo tanto la parte libre de torsión de $p$ en $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$ se inyecta en $\tilde{E}(\mathbb{F}_p)$)?

Answer 1

Sea $K$ un campo de valor discreto cuyo campo de residuos es perfecto de característica $p$, y sea $E$ una curva elíptica sobre $K$ con buena reducción. Si se supone además que el índice de ramificación absoluta $e$ de $K$ es $< p-1$, entonces se sigue que el mapa de reducción es inyectivo en los puntos de torsión de $p$-ésima potencia racionales sobre $K$ de $E$. Como ya se mencionó, el mapa de reducción es automáticamente inyectivo en los puntos de torsión primos en relación a $p$, por lo que concluimos que (cuando $e < p-1$) el mapa de reducción es inyectivo en toda la torsión racional de $K$.

Hay varias formas de ver la supuesta inyectividad. Una es a través de la consideración del grupo formal, y otra es a través de la teoría de esquemas de grupos finitos planos. La idea general es que cualquier punto de torsión $p$ no trivial que se reduce a la identidad (y por lo tanto se encuentra en los puntos del grupo formal) es la solución de un polinomio de Eisenstein de grado divisible por $p-1$. Si $e < p-1$ entonces tal polinomio no puede tener raíces en $K$, por lo que los puntos de torsión de $K$ no triviales no pueden encontrarse en el grupo formal.

Si uno considera el caso particular en el que $K = \mathbb Q$ o $\mathbb Q_p$ equipado con la valuación $p$-ádica, donde $p$ es un primo impar, entonces $e = 1 < p-1$, y este resultado se aplica. Esto es lo que Silverman está utilizando.

Creo que esto se discute en algún lugar en Silverman, aunque no recuerdo si se trata en la forma general descrita anteriormente, o solo en el caso particular de primos impares $p$ en $\mathbb Q$.

Answer 2

No sé si hay algo más, pero solo mirando lo que citas, argumentaría que la reducción módulo $3$ te dice que no puede haber una $5$-torsión (de hecho, que solo hay una $2$-torsión y tal vez alguna $3$-torsión). Luego, la reducción módulo $5$ indica que hay alguna $2$-torsión, y tal vez alguna $5$-torsión. Al juntar las dos, se concluye que no hay ni $3$-torsión ni $5$-torsión, de modo que los mapas de reducción proporcionan incrustaciones del grupo de torsión, y el argumento continúa a partir de ahí.

Básicamente, si las reducciones módulo $p$ y módulo $q$ revelan solo $\ell$-torsión, con $p$, $q$ y $\ell$ primos distintos entre sí, entonces se sabe que solo puede haber $\ell$-torsión y que los dos mapas de reducción de hecho son incrustaciones.