Cauchy en medida implica convergente en medida.

Question

Una secuencia $\{f_n\}$ de funciones medibles se dice que es una secuencia de Cauchy en medida si, dado $ > 0$, existe un $N$ tal que para todos los $m, n N$ tenemos $m\{x \in E : |f_n(x) f_m(x)| \ge \} < $.

Demuestra que si $\{f_n\}$ es de Cauchy en medida, entonces existe una función medible $f$ a la cual la secuencia $\{f_n\}$ converge en medida.

Idea: Necesito demostrar que $m\{x \in E : |f(x) f_n(x)| \ge \} \rightarrow 0$ para alguna función medible $f$. Estaba pensando que existe $f(x) = \lim_{k\to \infty} f_{n_k}(x)$ donde $f_{n_k}$ es una subsecuencia. Pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Esencialmente (como siempre) pasamos a una subsecuencia $\{g_n\}$ que se elige de tal manera que si $E_j = \{x: |g_j(x) - g_{j+1}(x)| \geq 2^{-j}\}$ entonces $\mu(E_j) \leq 2^{-j}$. Sea $F_k = \cup_{k}^\infty E_j$, entonces $\mu(F_k) \leq 2^{1-k}$ por la subaditividad de $\mu$. Para $x \notin F_k$ y $i \geq j \geq k$, se tiene $$|g_j(x) - g_i(x)| \leq \sum_{l=j}^{i-1} |g_{l+1}(x) - g_l(x)| \leq 2^{1-j}$$ por definición de la subsecuencia.

Por lo tanto, $\{g_n\}$ es de Cauchy puntualmente en $F_k^C$. Sea $F = \cap_1^\infty F_k$ (este es el limsup de los $E_j$), que tiene $\mu(F) = 0$. Luego, en $F$, sea $f=0$, y en $F^C$ sea $f(x) = \lim_j g_j(x)$. Entonces, $g_j \to f $ casi en todas partes, y $|g_j(x) - f(x)| \leq 2^{1-j}$ para $x \in F_k^C$ y $j \geq k$. Luego, se observa que $\mu(F_k) \to 0$ y $g_j \to f$ en medida.

Finalmente, se escribe $$\{|f_n(x) - f(x)| \geq \epsilon\} \subset \{|f_n(x) -g_j(x)| \geq 1/2 \epsilon\} \cup \{|g_j(x) -f(x)| \geq 1/2 \epsilon\}$$ y se observa que el lado derecho puede ser pequeño con $n$ y $j$ grandes, por lo tanto, se tiene convergencia en medida.

Este resultado se obtiene del Teorema 2.30 en el libro "Real Analysis: Modern Techniques and their Applications 2e" de Folland.