Notación: "es una función monótona de"

Question

Los símbolos $\sim$ y $\propto$ se utilizan para denotar la proporcionalidad directa de dos cantidades.

A veces, una declaración más débil es suficiente o deseada, por ejemplo cuando solo se puede asumir que un aumento en una variable $x$ llevará a un aumento en la variable dependiente $y$.

¿Existe una notación común para el hecho de que $y$ es una función monótonamente creciente de $f$?

Answer 1

No conozco un solo símbolo como el que mencionas, pero si solo estás buscando una forma abreviada, puedes intentar algo como $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ y tal vez eso explique tu razonamiento, digamos, como un paso intermedio en una demostración. O tal vez quieres algo como $\frac{\text{d}f}{\text{d}x} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$. Mi punto es que puedes escribir la propiedad de monotonía que deseas usar de manera explícita en símbolos.

Answer 2

No hay una representación estandarizada para esa consulta, pero si deseas denotar la monotonicidad de una función, digamos $f(x):\mathbb{S}\rightarrow\mathbb{R}$ puedes definir una función siempre que $f(x)$ sea diferenciable $\forall\;x\in\mathbb{S}$,

$$g(x)=f'(x) \;\forall \; x\in \mathbb{S}$$

Y en consecuencia, si la función es monótonamente creciente, puedes representarla como,

$$g(x):\mathbb{S}\rightarrow\mathbb{R^{+}-{\{0\}}}$$

De lo contrario, si es decreciente entonces,

$$g(x):\mathbb{S}\rightarrow\mathbb{R^{-}-{\{0\}}}$$