Transformada de Fourier del producto: demostración sin invocar el teorema de inversión de Fourier

Question

Sean $ f, g $ funciones de Schwartz, entonces $ f*g $ y $ fg $ son ambas funciones de Schwartz. Denote la transformada de Fourier de $ f $ por $ F(f) $ .

Es muy sencillo demostrar $ F(f*g) = F(f) F(g) $ a partir de la definición y el teorema de Fubini. Sin embargo, en la mayoría de los libros de análisis de Fourier, la otra fórmula $ F(fg) = F(f)*F(g) $ a menudo no se demuestra mediante métodos directos. En cambio, primero demuestran la fórmula de inversión de Fourier, y luego aplican la transformada de Fourier a ambos lados de $ F^{-1}(f*g) = F^{-1}(f) F^{-1}(g) $ .

Me pregunto si podemos dar una prueba de $ F(fg) = F(f)*F(g) $ sin invocar el teorema de inversión de Fourier. En otras palabras, ¿es esencial el teorema de inversión de Fourier para esta fórmula? He intentado probarlo directamente pero me resulta muy difícil. Tengo poco conocimiento en lógica matemática, así que no sé si es una pregunta válida, pero realmente me preocupa. Muchas gracias si estás dispuesto a ayudar.

Answer 1

Aquí hay un camino a seguir que evita recurrir al teorema de inversión y se basa únicamente en el Teorema de Fubini-Tonelli (FTT) y el Teorema de Convergencia Dominada (DCT). Para ello ahora procedemos.

Denotamos las transformadas de Fourier de $f(x)$ y $g(x)$ como $F(k)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{ikx}\,dx$ y $G(k)=\int_{-\infty}^\infty g(x)e^{ikx}\,dx$, respectivamente.

Escribiendo la convolución de $F$ y $G$ como $F*G$, tenemos

$$\begin{align} (F*G)(k)&= \int_{-\infty}^\infty F(k-k')G(k')\,dk'\\\\ &=\int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{i(k-k')x}\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty g(x')e^{ik'x'}\,dx'\right)\,dk'\\\\ &\overbrace{=}^{\text{FTT}}\lim_{L\to\infty}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{ikx}\int_{-\infty}^\infty g(x')\int_{-L}^L e^{ik'(x'-x)}\,dk'\,dx'\,dx\\\\ &=\lim_{L\to\infty}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{ikx}\int_{\infty}^\infty g(x')\left(\frac{2\sin(L(x'-x))}{(x'-x)}\right)\,dx'\,dx\\\\ &=\lim_{L\to\infty}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{ikx} \int_{\infty}^\infty g(x'/L+x)\frac{2\sin(x')}{x'}\,dx'\,dx \\\\ &\overbrace{=}^{DCT}\int_{-\infty}^\infty f(x)g(x)e^{ikx}\int_{-\infty}^\infty \frac{2\sin(x')}{x'}\,dx'\\\\ &=2\pi \mathscr{F}\{fg\}(k) \end{align}$$

¡como se quería demostrar!