Unicidad de la descomposición de módulos finitamente generados sobre dominios de Dedekind

Question

Si $R$ es un dominio de Dedekind y $M$ un módulo finitamente generado sobre $R$, entonces $M$ se descompone como suma directa de un módulo de torsión y un módulo proyectivo sobre $R$. ¿Es esta descomposición única? ¿Y qué sucede si preguntamos sobre la unicidad hasta el isomorfismo (de los submódulos que aparecen en la descomposición)?

Entiendo que la segunda pregunta podría parecer trivial al principio, ya que por la clasificación todas las localizaciones de los submódulos serán isomorfas... pero ¿quién garantiza que estos isomorfismos de los submódulos localizados provienen todos de un isomorfismo de los submódulos originales?

Answer 1

La descomposición de $M$ como una suma directa de un módulo de torsión y un módulo proyectivo no es única. Dada cualquier descomposición $M=T\oplus P$, y cualquier morfismo de módulo $R$ $\varphi: P\to T$, podemos formar la descomposición "torcida" $M=T\oplus P'$, donde $P'=\{(t,p)\in T\oplus P=M: t=\varphi(p)\}$.

Estas descomposiciones tienen $P\cong P'$.

Debido a que los módulos proyectivos sobre dominios de Dedekind son libres de torsión, el submódulo de torsión es único (es el conjunto de todos los elementos de torsión de $M$). El "complemento proyectivo" siempre será abstractamente isomorfo al cociente de $M$ por el submódulo de torsión.

Answer 2

Supongamos $M=N\oplus P$ con $P$ y $N$ arbitrarios. Elija cualquier mapa $\phi:P\to N$ lineal en $R$ y considere el submódulo $P'=\{p+\phi(p):p\in P\}\subseteq M$. Entonces puede verificar fácilmente que $M=N\oplus P'$ y que $P\cong P'$.

Si $P$ es proyectivo, entonces existen mapas no nulos $\phi:P\to N$ y para esas elecciones entonces $P'\neq P$.