Relación entre $\text{Bil}(V^*,W^*)$ y $\text{Bil}(V,W)^*$

Question

Estaba pensando si hay una relación entre $\text{Bil}(V^*,W^*)$ y $\text{Bil}(V,W)^*$ (es decir, entre el espacio de formas bilineales en $V^*\times W^*$ y el dual del espacio de formas bilineales en $V\times W$). Por ejemplo, ¿hay un isomorfismo entre ellos?

No puedo encontrar mucha información sobre este tema, pero probablemente haya muchos libros donde esto se explique, así que también estaría feliz si tienes alguna sugerencia de un buen libro sobre el tema.

Editar: Un argumento sobre por qué no hay un isomorfismo cuando $V$ y $W$ son de dimensión infinita se puede encontrar en Why is the inclusion of the tensor product of the duals into the dual of the tensor product not an isomorphism?

Answer 1

Existe un mapa lineal natural $F:\mathrm{Bil}(V,W)^*\to\mathrm{Bil}(V^*,W^*)$ definido de la siguiente manera. Dado $\alpha\in V^*$ y $\beta\in W^*$, definimos un elemento $f_{\alpha,\beta}\in\mathrm{Bil}(V,W)$ por $f_{\alpha,\beta}(v,w)=\alpha(v)\beta(w)$. Dado $\varphi\in \mathrm{Bil}(V,W)^*$, entonces, definimos $F(\varphi)(\alpha,\beta)=\varphi(f_{\alpha,\beta})

Cuando $V$ y $W$ son de dimensión finita, este $F$ es un isomorfismo. De hecho, puedes ver esto simplemente escogiendo bases explícitamente. Si $B$ es una base para $V$ y $C$ es una base para $W$, entonces hay bases canónicas para $\mathrm{Bil}(V,W)^*$ y $\mathrm{Bil}(V^*,W^*)$ que están en biyección con $B\times C$, y puedes calcular explícitamente que $F$ envía cada elemento de la base al elemento correspondiente de la base.

Esta historia se aclara mucho utilizando el lenguaje de productos tensoriales. Tenemos $\mathrm{Bil}(V,W)=(V\otimes W)^*$, entonces nuestro $F$ es un mapa $(V\otimes W)^{**}\to (V^*\otimes W^*)^*$. De hecho, $F$ es simplemente el dual del mapa $G:V^*\otimes W^*\to (V\otimes W)^*$ que corresponde al emparejamiento entre $V^*\otimes W^*$ y $V\otimes W$ usando los mapas de evaluación $V^*\otimes V\to k$ y $W^*\otimes W\to k$. Cuando $V$ y $W$ son de dimensión finita, este emparejamiento es perfecto, por lo que $G$ es un isomorfismo, y por lo tanto $F$ también es un isomorfismo.