Estructura de modelo local en prehaces simpliciales

Question

Hola,

Sea $\mathcal{C}$ una categoría (pequeña) equipada con una pretopología de Grothendieck.

Sea $sPSh(\mathcal{C})$ la categoría de presheaves simpliciales en $\mathcal{C}$, junto con su estructura de modelo proyectivo (fib. y w.e. son nivel a nivel).

Luego se define la clase $S$ de equivalencias débiles locales como aquellas que son isomorfismos en grupos de homotopía, etc...

Después se toma la localización izquierda de Bousfield de la estructura de modelo proyectivo a lo largo de $S$, para obtener la estructura de modelo local proyectivo (la cual modela "hazas de homotopía").

No entiendo mucho en estas cosas, así que tengo dos preguntas:

1) En general, dado un conjunto $S$ de aplicaciones, definimos el conjunto de equivalencias $S$-locales (aquellas que satisfacen alguna propiedad izquierda con respecto a los objetos $S$-locales, que son aquellos que satisfacen alguna propiedad derecha con respecto a $S$...). Para nuestro $S$, ¿las equivalencias $S$-locales coincidirán con $S$?

2) Si tomo $T$ como el conjunto de hipocubiertas, ¿las equivalencias $T$-locales serán $S$?

Muchas gracias, Sasha

Answer 1

Las respuestas a ambas de tus preguntas es sí.

La descripción original de Jardine (Simplicial presheaves, J. Pure Appl. Algebra 47 (1987), no. 1, 35–87) de la estructura modelo local inyectiva en simplicial presheaves define las equivalencias débiles como la clase a la que te refieres en tu pregunta como $S$. Esto significa que Jardine verificó explícitamente que la categoría de simplicial presheaves con la clase $S$ de equivalencias débiles y la clase de cofibraciones globales satisface efectivamente todos los axiomas en la definición de una categoría modelo.

Observa que dadas dos estructuras de categoría modelo $(W, cof, fib)$ y $(W', cof', fib')$ en la misma categoría subyacente $C$, se dice que la segunda es una localización izquierda de Bousfield de la primera si $cof = cof'$ y $W \subseteq W'$, y que la imagen anterior encaja en esta definición.

Ahora, dado una estructura de categoría modelo $(W, cof, fib)$ y una clase arbitraria $M$ de morfismos, puedes intentar definir una nueva estructura de categoría modelo $(W', cof', fib')$ que sea una localización izquierda de Bousfield de la primera y que sea mínima sujeta a la condición de que $M \subseteq W'$. Entonces $W'$, la clase de equivalencias llamadas $M$-locales, es una especie de saturación de $M, en el sentido de que es la clase más pequeña de morfismos que contiene $M y satisface las condiciones necesarias para que sea la clase de equivalencias débiles de una estructura de categoría modelo en tu categoría (con las cofibraciones fijas, por supuesto). Dado que tu clase $S$ ya está saturada en este sentido, es en sí misma la clase de equivalencias $S$-locales.

Tu segunda pregunta se refiere precisamente al maravilloso artículo Hypercovers and simplicial presheaves (Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 136 (2004), no. 1, 9–51) de Dugger, Hollander e Isaksen.

Una guía útil de todo lo que está sucediendo se encuentra en la página nLab model structure on simplicial presheaves.