¿Un número imaginario negativo multiplicado por un número imaginario sería positivo?

Question

Sé que $\sqrt{-1} = i$ y que $i^2 = -1$, y estoy seguro de que $i^3 = -i$. Entonces, ¿será que $i^4 = +1$?

Estoy un poco confundido al respecto. ¿Pueden los chicos inteligentes explicar?

Answer 1

Sí, eso es correcto $$i^4 = i^2\cdot i^2=(-1)\cdot (-1) = 1$$

Answer 2

Sí. Puede verlo usted mismo por $$ i^{4} = i^{3} \cdot i = -i \cdot i = - (\sqrt{-1})^{2} = -(-1) = 1. $$

Answer 3

Tus potencias de $i$ son correctas. $i$ es una cuarta raíz de 1 junto con $-1$, $-i$ y, por supuesto, $1$ en sí mismo.

No es usual hablar de positivo y negativo con números complejos. No es posible definir $>$ y $<$ para números complejos y conservar sus propiedades familiares, por ejemplo, negativo $\times$ negativo = positivo.

Así que, $i$ no es ni positivo ni negativo. Son propiedades de los números reales y $i$ no es un número real.

Answer 4

De hecho, $i^4=1$. Ya que $$i^4=i^{2+2}=i^2\cdot i^2=(-1)(-1)=1$$

Sin embargo, tu observación incluye aún más:

$i^0=1;i^1=i;i^2=-1;i^3=-i;i^4=1$

y a partir de aquí el patrón se repite. Las potencias de $i$ se repiten con una periodicidad de $4$, por lo que podemos considerarlas módulo $4$: $i^n=i^{n\mod4}$

Para probar esto, escribimos $n=4k+r$ con $r\in{\{0;1;2;3\}}$; entonces $i^n=i^{4k+r}=i^{4k}\cdot i^r=(i^4)^k\cdot i^r=1^k\cdot i^r=i^r$ y claramente $r\equiv n\mod4$.

Y observando que $4\equiv0\mod4$, $i^4=i^0=1$ cobra sentido de nuevo.