¿Cómo estimar el tamaño de una razón con factoriales muy grandes?

Question

Quiero estimar el tamaño de la siguiente razón: $$\frac{10^{18}!}{10^{14}!\ 10^4!}$$

Dado que no tengo idea de cómo simplificarlo y ninguna CAS es capaz de manejar números de este tamaño, actualmente estoy en un callejón sin salida.

Answer 1

Creo que vas a necesitar la aproximación de Stirling para avanzar mucho aquí:

$$n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n},$$

por lo que $$\log(n!) \sim n \log n - n + \frac12\log(2\pi n).$$

Usando eso, puedes obtener $$\log\left(\frac{10^{18}!}{10^{14}!10^4!}\right) = 10^{18}\log(10^{18}) - 10^{18} +\frac12\log(2\pi\times 10^{18}) - 10^{14}\log(10^{14}) + \cdots$$

y luego descartar los términos que sean demasiado pequeños para valer la pena en tu aplicación deseada.

Answer 2

Por la Aproximación de Stirling, $ln(10^{14}!) \sim 10^{14}ln(10^{14})-10^{14} \sim 14 \times 10^{14}ln(10)- 10^{14} \sim 10^{15}$

$ln(10^{18}!) \sim 10^{18}ln(10^{18})-10^{18} \sim 18 \times 10^{18}ln(10)- 10^{18} \sim 18 \times 10^{18}ln(10)$

$ln(10^{4}!) \sim 10^{4}ln(10^{4})-10^{4} \sim 4 \times 10^{4}ln(10)- 10^{4} \sim 10^{4}$ $\\$

$ln(\frac{10^{18}!}{10^{14}!{10^4}!})\sim 18 \times 10^{18}ln(10)-10^{15}-10^{4} \sim 18 \times 10^{18}ln(10)$

$\frac{10^{18}!}{10^{14}!{10^4}!} \sim 10^{18 \times 10^{18}}$