Introducción al Álgebra Lineal (Strang) 2.7 Ejemplo 3

Question

Imagen del problema: https://i.stack.imgur.com/R8TiR.png

He estado trabajando a través de la Introducción al Álgebra Lineal de Gilbert Strang, pero no entiendo un paso de la Sección 2.7 Ejemplo 3. Strang compara la "matriz de diferencia" {-1,1,0; 0,-1,1} con el operador derivada $d/dt$. Él argumenta que la transpuesta de la matriz de diferencia es equivalente a $-d/dt$, que la derivada es "anti-simétrica".

Entiendo esta idea en teoría, pero su justificación de esta anti-simetría se hace usando integración por partes, como se ve en la imagen. En mi entendimiento, la integración por partes se deriva a través de la regla del producto:

$\frac{d}{dt}(f(t) g(t)) = f'(t) g(t) + f(t) g'(t)$

Sin embargo, la explicación de Strang ignora el lado izquierdo de esta ecuación. ¿Por qué es esto?

Answer 1

El lado izquierdo de la ecuación al ser integrado de $-\infty$ a $\infty$ da $$ \left.f(t)g(t)\right|_{t = -\infty}^\infty$$ por lo que sólo depende del límite y a menudo se le llama el "término de límite". A menudo se asume que las funciones decaen conforme $|t|\to \infty$ por lo que este término es cero.