Dual de $H^1_0$: $H^{-1}$ or $H_0^1$?

Question

Tengo un problema relacionado con el dual del espacio de Sobolev $H^1_0$. Por definición, el dual de $H^1_0$ es $H^{-1}$, que contiene a $L^2$ como un subespacio. Sin embargo, por el teorema de representación de Riesz, el dual de un espacio de Hilbert es él mismo (en el sentido de isomorfismo). Parece que esto implica que el dual de $H^1_0$ es $H^1_0$ mismo.

A partir del resultado, creo que el último argumento no es correcto. Pero, ¿dónde está el error?

Este problema puede estar relacionado con la pregunta sobre el espacio de Hilbert y su dual Un paradójico sobre espacios de Hilbert y sus duales

Sin embargo, no pude entender bien las respuestas después de leer varias veces...

¡Muchas gracias!

---

¡Muchas gracias por todas las amables soluciones!

Las siguientes son mis conclusiones:

1. El espacio dual depende fuertemente de la acción que tomemos. Por ejemplo, en nuestro caso, si tomamos el producto interno de $H^1$, el espacio dual es $H_0^1$ mismo; si tomamos el producto interno de $L^2$, el espacio dual es más grande que $L^2$; y tomando todas las posibles acciones duales, el dual es por definición $H^{-1}$.

2. Como el dual de un espacio, ciertamente hay identificaciones entre estos espacios. ¡Observa que la identificación entre espacios de dimensional infinita puede ser biyectiva e ISOMÉTRICA! De hecho, hay un ejemplo simple: la secuencia {1,2,3...} y {2,4,6...}. Simplemente tomamos la métrica del segundo para ser la mitad.

3. Otro ejemplo básico es la simple ecuación elíptica en $H_0^1$: $$ \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v+\int_\Omega uv=\langle f,v\rangle , \forall v\in H_0^1(\Omega) $$ donde $f\in H^{-1}$. Esto da una identificación isométrica de $H^{-1}$ y $H_0^1$.

4. El libro de Brezis nos recuerda que no podemos tomar dos productos internos diferentes para dar ambas representaciones de Riesz al mismo tiempo. El ejemplo allí es muy instructivo.

Answer 1

Permíteme reformular tu pregunta de la siguiente manera. Sea $\Omega$ un subconjunto abierto no vacío de $\mathbb{R}^d$. Por un lado, tenemos el siguiente diagrama: $$ H_0^1(\Omega)\subset L^2(\Omega)\subsetneq H^{-1} (\Omega),\tag{*} $$ donde $H^{-1}(\Omega)$ está definido como el dual de $H_0^1(\Omega)$. Por otro lado, según el teorema de representación de Riesz, $H^{-1}(\Omega)$ puede identificarse como $H_0^1(\Omega)$. Esto sugiere que podríamos escribir $$ H^{-1}(\Omega)=H_0^1(\Omega)\tag{**} $$ lo cual contradice a $(*)$ ya que $L^2(\Omega)$ es un subespacio propio de $H^{-1}(\Omega).

El problema es que $(**)$ no es verdadero si uno considera "$=$" en $(**)$ como una igualdad de conjuntos en lugar de un isomorfismo de espacio de Hilbert.

Como dijo Terry Tao :

[

"Es mejor pensar en pares isomorfos como siendo equivalentes o identificables en lugar de idénticos, ya que lo último puede llevar a cierta confusión si se trata a muchas equivalencias como igualdades. Por ejemplo, $\ell^2(\{0,1,2,\dots\})$ y $\ell^2(\{1,2,\dots\})$ son equivalentes (uno simplemente puede desplazar la base ortonormal estándar para obtener la última), pero también se puede identificar el segundo espacio como un subespacio del primero. Es bastante inofensivo tratar una de estas equivalencias como una igualdad, pero por supuesto no se puede hacerlo para ambas equivalencias al mismo tiempo."

](https://terrytao.wordpress.com/2009/04/30/245c-notes-4-sobolev-spaces/#comment-466720)

Answer 2

El espacio dual $(H_0^1)^*$ es, por definición, el espacio de todos los funcionales lineales y continuos $(H_0^1)^* \to \mathbb R$.

Hay diferentes formas de generar este espacio dual:

(1) La representación de Riesz te permite representar cada funcional $f\in (H_0^1)^*$ mediante el producto escalar con un elemento $u_f\in (H_0^1)$ $$ f(v) = \langle u_f,v\rangle \quad\forall v\in H_0^1. $$

(2) Cada función $u\in L^2$ también genera una función en $(H_0^1)^*$ mediante $$ f_u(v)=\int_\Omega uv\ dx \quad\forall v\in H_0^1. $$ Incluso puedes tomar $u\in H_0^1$.

Si observas los diferentes funcionales, verás que los funcionales en (1) están definidos por el producto escalar $H^1$, y los funcionales en (2) están definidos por el producto escalar $L^2$.

Answer 3

El teorema de representación de Riesz es un teorema de "representación", y no un teorema de identificación. En el ejemplo 3 anterior, $ f = - \Delta u + u $ puede ser representado por $ u $, pero no puede ser identificado por $ u $, ya que $ f $ está en $ H^{-1} $ mientras que $ u $ está en $ H^1_0 $.

Answer 4

Como has dicho, el espacio dual de $H_0^1$ es, por definición, $H^{-1}$. Puede ser identificado con $H_0^1$ a través de un isomorfismo, pero si la identificación es útil o no, depende del problema que estés estudiando.

Si, por ejemplo, estás estudiando problemas abstractos sobre espacios de Hilbert y sus duales, entonces la identificación es recomendada y ahorras mucho tiempo usándola. Echa un vistazo, por ejemplo, al capítulo 5 del libro de Brezis.

Por otro lado, al tratar con problemas prácticos, como por ejemplo, problemas de Ecuaciones en Derivadas Parciales, es más conveniente usar sólo $H^{-1}$. En algunos casos es incluso mejor cuando conoces una representación para elementos de $H^{-1}$ en términos de funciones de $L^2$. Mira, por ejemplo, la página 291 del libro de Brezis.