Subgrupos de orden 4 de un grupo

Question

Sea $G$={$1, -1$} el grupo con multiplicación y $H= G \times G \times G$ el grupo con la operación definida para $x_1=(a_1, b_1, c_1)$ , $x_2=(a_2, b_2, c_2)$ como $x_1 * x_2 = (a_1a_2, b_1b_2, c_1c_2)$.

¿Cuántos subgrupos hay en H con orden $4$ ?

Mi respuesta es $7$ pero creo que podría haber algunos cálculos incorrectos.

Answer 1

Es correcto, si eliges dos elementos distintos de orden $2$ generan un subgrupo de orden $4$. Por otro lado, cada subgrupo de orden $4$ puede ser generado de esta manera por $\binom{3}{2}$ formas.

Entonces la respuesta es $\binom{7}{2}/\binom{3}{2}=7$

Answer 2

¡Amén a eso!

Dado que el grupo es $\mathbb{Z}_{2}$$\times$$\mathbb{Z}_{2}$$\times$$\mathbb{Z}_{2}$, este es un grupo cíclico y hay 7 elementos de orden 2, excepto la identidad.

Puedes tomar cualquier par de elementos, digamos x e y, y luego puedes crear el subgrupo como $<$x, y$>$ = {1, x, y, x+y}.

Ahora, puedes elegir 2 elementos de las 7C2 = 21 formas. Sin embargo, el subgrupo mencionado anteriormente también se podría haber alcanzado si hubiéramos elegido x & x+y o y & x+y en lugar de x & y. Esto significa que cada subgrupo podría haber sido elegido de tres maneras. Por lo tanto, tenemos que dividir por ese factor de 3.

Por lo tanto, el número de subgrupos de orden 4 es 21/3 = 7.

P.D. - solo dos grupos son de orden 4. $\mathbb{Z}_{4}$ y V$_{4}$, el Grupo de Klein. Todos estos 7 subgrupos son Grupos de Klein.