¿Existe algún grupo no trivial que sea isomorfo a su grupo de automorfismos exteriores?

Question

Sé que hay muchos grupos no triviales que son isomorfos a sus grupos de automorfismos como $S_3$. ¿Hay algún grupo no trivial que sea isomorfo a su grupo de automorfismos exteriores? ¿Hay algún grupo finito no trivial isomorfo tanto a su grupo de automorfismos internos como a su grupo de automorfismos externos? Si es así, ¿cuál es la clasificación de dichos grupos?

Answer 1

Hay un resultado famoso, que el grupo de automorfismos exteriores de un grupo simple finito es resoluble, ver la conjetura de Schreier. En particular, no puede ser isomorfo al grupo en sí mismo.

Es interesante notar que la pregunta correspondiente para álgebras de Lie, planteada por Hans Zassenhaus, es diferente, es decir, hay de hecho álgebras de Lie simples isomorfas a su álgebra de derivación exterior, como por ejemplo el álgebra de Lie simple $\mathfrak{psl}_3(\Bbb F)$ de dimensión $7$ sobre un campo $\Bbb F$ de característica tres.

Para grupos resolubles $G$, puede suceder fácilmente que $G\cong Out(G)$, por ejemplo, para $G=C_2\times D_4$, como señaló Derek. Hay algunos posts más relacionados con este tema, o temas similares, por ejemplo

Conjetura de Schreier

¿Es todo grupo finito el grupo de automorfismos exteriores de un grupo finito?

Grupo isomorfo a su grupo de automorfismos