Si $f\in \mathbb C^\infty (M)$ y $(M,g)$ es una métrica de Riemann, ¿es cierto que $g(fX,Y)=fg(X,Y)$?

Question

Sea $(M,g)$ una variedad riemanniana y $f\in \mathcal C^\infty (M)$. ¿Es cierto que $$g(fX,Y)=fg(X,Y)\ \ ?$$

Sé que $g$ es $\mathbb R-$bilineal, ¿pero también es $\mathcal C^\infty (M)-$bilineal?

De hecho, en un ejercicio, tengo $(M,g)$ y $(M,g')$ donde $g'=e^{2u}g$. Y tengo que demostrar que si $\{E_1,E_2\}$ es una base ortonormal de $T_pM$, entonces $\{\tilde E_1,\tilde E_2\}$ donde $\tilde E_i=e^{-u}E_i$ es una base ortonormal de $T_pM$ para la métrica $g'$.

Así que si $g$ es $\mathcal C^\infty (M)-$bilineal es obvio, pero como no tengo ningún resultado que lo confirme, tengo algunas dudas.

Answer 1

Sí, una métrica riemanniana es un objeto algebraico (o campo tensorial): Es decir, $g(X, Y)$ en un punto $p$ depende solo de los valores $X_{p}$ e $Y_{p}$ de los campos vectoriales $X$ e $Y$. La bilinealidad sobre funciones suaves es otra forma de decir lo mismo.