Patrones de coeficientes.

Question

Estoy trabajando a través del libro Métodos Matemáticos para Física e Ingeniería y me encontré con

Debajo de la pregunta, ellos declararon que la raíz x=-1 fue encontrada a partir del patrón de coeficientes. No puedo encontrar nada al respecto en línea y por eso estoy muy confundido. Apreciaría si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre este método de encontrar una raíz.

Muchas gracias.

Answer 1

Las posibles raíces enteras de $f(x)=3x^4-x^3-10x^2-2x+4=0$ son los divisores de $4.$ Eso es $\pm 1,\pm 2,\pm 4.$ Es fácil ver que

$$f(1)=3-1-10-2+4\ne 0,$$ lo cual muestra que $x=1$ no es una raíz, y $$f(-1)=3+1-10+2+4=0,$$ lo cual muestra que $x=-1$ es una raíz. En otras palabras, la suma de los coeficientes no es cero y por lo tanto $x=1$ no es una raíz. Y la suma de los coeficientes de grado par menos la suma de los coeficientes de grado impar es cero y por lo tanto $x=-1$ es una raíz.

Ahora, la manera de factorizar $f(x)$ no es la más corta ni la más simple. Dado que $x=-1$ es una raíz tenemos que

$$3x^4-x^3-10x^2-2x+4=(x+1)(b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0).$$ Identificando los coeficientes de $x^4$ obtenemos que $$b_3=3;$$ identificando los coeficientes de $x^3$ obtenemos que $$b_2+b_3=-1,$$ y así sucesivamente.

Si utilizamos la regla de Ruffini (ver https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Ruffini) obtendremos la respuesta rápidamente. O simplemente hacer la división.

Answer 2

Creo que lo que quieren decir es simplemente esto: Comienza suponiendo que -1 podría ser una raíz. Sustituye -1 en la expresión. Obtenemos:

3 - (-1) - 10 - (-2) + 4 = 3 + 1 - 10 + 2 + 4 = 0

lo cual confirma nuestra suposición.

Más generalmente, es una buena idea intentar sustituir algunos enteros de pequeña magnitud en la expresión algebraica porque el resultado es una expresión aritmética relativamente simple. Los valores 0, 1 y -1 en particular son buenas opciones porque sus potencias son fáciles de evaluar. Si el polinomio es mónico, por supuesto, se prueban los factores del término constante.