¿Existen "álgebras envolventes" para grupos algebraicos?

Question

Sea $K$ un campo, para simplificar algebraicamente cerrado de característica $0$. Sea $G$ un grupo reductivo sobre $K$.

Def. Un $K$-álgebra de dimensión finita $R$ es un álgebra envolvente para $G$, si $R^{\times} \cong G$ como grupos algebraicos sobre $K$.

[Dado que $R$ es un espacio vectorial finito-dimensional sobre $K$, ser invertible en $R$ es una condición algebraica, así que denoto por $R^{\times}$ al grupo algebraico de unidades de $R$.]

Pregunta: ¿Qué se sabe sobre la existencia de un álgebra envolvente para grupos reductivos en general?

Por ejemplo, la álgebra de matrices $M_n$ es un álgebra envolvente para $\mathrm{GL}_n$. Hasta el 2020-02-22 no conozco otros ejemplos. Sabemos que si existe un álgebra envolvente, entonces $G$ no es simple.

Aplicación. Sea $R$ un álgebra envolvente para $G$. Entonces $$ \mathrm{Hom}_{K\text{-}\mathrm{Anillos}}(K[\Gamma], R) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Grupos}}(\Gamma, G(K))$$ para todos los grupos $\Gamma$.

Una especie de converso a esta afirmación también es cierta, por lo que precisamente las álgebras envolventes para $G$ se pueden utilizar para linearizar representaciones.

Answer 1

Las álgebras envolventes en este sentido no siempre existen. En particular, ningún grupo algebraico simple tiene un álgebra envolvente.

Sea $A$ un $k$-álgebra de dimensión finita y $J(A)$ su radical. $J(A)$ es cerrado de Zariski en $A$ y por lo tanto $1+J(A)$ es cerrado de Zariski en $A^\times$. Ahora como variedad, $1+J(A)$ es isomorfo a $J(A)$ que es conexo, ya que $J(A)$ es un subespacio vectorial de $A$.

Tenemos una secuencia exacta corta $1 \to 1+J(A) \to A^\times \to (A/J(A))^\times \to 1$

Esto muestra que si asumimos que $A^\times$ es un grupo algebraico simple, entonces $1+J(A)=1$ y $A^\times \cong (A/J(A))^\times$. Por Artin-Wedderburn, $A/J(A)^\times$ es un producto de copias de $\mathrm{GL}_n$ para distintos $n$ que nunca es simple.

Answer 2

Gracias a la respuesta de Lukas, creo que pude encontrar una clasificación completa de grupos reductivos que admiten álgebras envolventes.

Sea $G$ un grupo reductivo sobre un campo arbitrario $K$ de característica arbitraria y $A$ un álgebra $K$-finita, tal que $G \cong A^{\times}$.

Lukas ha visto que $(1+J(A))$ es un subgrupo normal cerrado conectado de $G$. Los grupos $(1+J(A)^n)/(1+J(A)^{n+1}) son abelianos y como $J(A)$ es nilpotente, $(1+J(A)) es soluble. Esto, junto con la conectividad, muestra que $(1+J(A)) está contenido en el radical $\mathrm{rad}(G)$ (el componente identidad del subgrupo cerrado máximo normal soluble de $G$). Nuevamente, como $J(A)$ es nilpotente, $(1+J(A)) consiste en elementos unipotentes y, por lo tanto, está contenido en el radical unipotente $U(G)$, pero como $G$ es reductivo, $U(G)=1$. Concluimos que $J(A)=0 y que $A$ es semisimple. Como se dijo anteriormente en Artin-Wedderburn, $A$ es isomorfo a un producto de álgebras de matrices sobre cuerpos de división $D$ y en particular $G$ es un producto de $\mathrm{GL}_n(D)$'s.