¿Una teoría de campo no lagrangiana tiene un tensor de energía-momento?

Question

En la teoría clásica de campos, el tensor de energía y momento se puede definir en términos de la variación de la acción respecto al campo métrico, o respecto a un campo de referencia si están involucrados los espinores. Por supuesto, esto asume que la teoría de campos se expresa en términos de un campo métrico (o de referencia) arbitrario, incluso si es solo un campo de fondo, para que podamos definir la variación. Esto se revisa muy bien en "Corrientes y el Tensor de Energía-Momento en la Teoría Clásica de Campos — Una mirada fresca a un Viejo Problema" (https://arxiv.org/abs/hep-th/0307199).

Una definición similar funciona en la teoría cuántica de campos, ignorando problemas de regularización.

También podemos tener una teoría de campos no lagrangiana cuyas ecuaciones de movimiento no necesariamente se derivan de un lagrangiano. Aún podemos expresar las ecuaciones en términos de un campo métrico (o de referencia) de fondo arbitrario, pero ¿cómo definimos el tensor de energía y momento en este caso? ¿Las teorías de campos no lagrangianas todavía tienen un tensor de energía y momento?

• Entiendo que el teorema de Noether asume un lagrangiano, pero el tensor de energía y momento parece más fundamental, porque incluso los sistemas no lagrangianos se acoplan a la gravedad, ¿verdad? ¿No debería significar eso que tienen un tensor de energía y momento?

• La existencia de un tensor de energía y momento parece ser un axioma estándar en formulaciones no lagrangianas de la teoría de campos conforme, pero no sé si estas teorías pueden formularse en términos de un lagrangiano, o si son verdaderamente no lagrangianables. (¿Podemos hacer de eso una palabra, por favor?)

---

Otros posts sobre teorías no lagrangianas:

• ¿Qué tan general es el enfoque de cuantización lagrangiana para la teoría de campos?

• ¿Existe una formulación lagrangiana válida para todos los sistemas clásicos?

• ¿Cómo muestro que existe un principio variacional/de acción para un sistema clásico dado?

• ¿Las QFT "típicas" carecen de una descripción lagrangiana?

Answer 1

La mayoría de las teorías no tienen un tensor de energía-momento conservado, independientemente de si son lagrangianas o no. Por ejemplo, necesitas localidad e invarianza de Lorentz. Cuando tienes esas, puedes definir el tensor de energía-momento a través de la función de partición (que siempre existe, básicamente define la QFT): $$ \langle T_{\mu\nu}\rangle:=\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}}Z[g] $$ Puedes definir funciones de correlación arbitrarias de $T$ incluyendo inserciones. Y estas funciones definen al operador $T$ en sí mismo. Por lo tanto, $T$ está definido siempre que $Z$ sea una función (diferenciable) de la métrica, es decir, cuando tienes una prescripción para sondear la dependencia de la teoría en la métrica de fondo. Y esta prescripción es parte de la definición de la teoría: para definir una QFT debes especificar cómo se va a calcular la función de partición, para un fondo arbitrario. Si no puedes o no quieres especificar $Z$ para $g$ arbitrario, entonces la derivada no se puede evaluar y $T$ está indefinido. (Esta no es una situación irrazonable, por ejemplo, puedo estar tratando con una teoría que es anómala y solo se define para un conjunto especial de métricas, por ejemplo, Kähler. Esta teoría no tiene sentido para $g$ arbitrario, por lo que puede que no pueda evaluar $Z[g]$ para $g$ arbitrario, y por lo tanto $T$ puede que no exista).

Si la teoría admite una acción, entonces la dependencia de $Z$ en $g$ es directa: está dada por lo que compute el integral de caminos. Si la teoría no admite una acción, entonces debes dar otras prescripciones mediante las cuales computar $Z$. Esta prescripción puede o no incluir una definición para $g$ arbitrario; si no lo hace, entonces $T$ está en principio indefinido.

De todos modos, por diversión considera el siguiente ejemplo muy explícito: $\mathcal N=3$ supergravedad en $d=4$. Se sabe que esta teoría no es lagrangiana. De hecho, si escribes la lagrangiana más general consistente con la supersimetría $\mathcal N=3$, realmente puedes demostrar que también preserva la supersimetría $\mathcal N=4$. Por lo tanto, cualquier teoría hipotética con estrictamente simetría $\mathcal N=3$ no puede admitir una lagrangiana. Una tal teoría fue construida por primera vez en arXiv:1512.06434, obtenida casi simultáneamente con arXiv:1512.03524. Este último artículo analiza las consecuencias de las identidades Ward anómalas para todas las corrientes de simetría, en particular el supercorriente y el tensor de energía-momento.

Answer 2

No todas las teorías no Lagrangianas tienen un tensor de energía-impulso, un ejemplo de esto es el punto crítico del modelo de Ising de largo alcance, que puede expresarse como una teoría de campo de "defecto" donde la acción consiste en dos piezas integradas sobre espacios de diferente dimensionalidad y por lo tanto no tiene un solo Lagrangiano que lo describa.

Consultar el capítulo 6 de "Conformal Invariance in the Long-Range Ising Model" por Paulos, Rychkov, van Rees, Zan para obtener una discusión sobre esta formulación y lo que significa el tensor de energía-impulso "faltante" para las identidades de Ward. Ese documento también nos remite en una nota al pie a "Conformal symmetry in non-local field theories" por Rajabpour, donde se construye un "tensor de tensiones no local" para una clase de teorías donde el término cinético habitual con un Laplaciano local es reemplazado por el Laplaciano fraccional no local, pero este objeto no se comporta como uno desearía que lo hiciera un tensor de energía-impulso en una CFT, en particular sus expansiones de producto de operadores son "incorrectas".