Pregunta sobre el paso de la integral de trayectoria de la descomposición de Rindler

Question

En la mayoría de los papers donde he leído sobre la descomposición de Rindler y el efecto Unruh (ver por ejemplo [1] o [2]) comienzan diciendo que quieren encontrar la función de onda del estado de vacío en la base de estados $\phi_L$ y $\phi_R$ que viven en los lados izquierdo y derecho del espacio de Minkowski. Escriben la función de onda en la base $\phi$ como

$$\begin{equation} \Psi\big(\phi \big)=\langle \phi |\Omega\rangle \propto\lim_{T\rightarrow \infty} \langle \phi_L \phi_R | e^{-HT}|\chi\rangle \\ \propto \int_{\phi(t_E=-\infty)=0}^{\phi(t_E=0)=\phi} \mathcal{D}\phi e^{-S_E}. \end{equation}$$

Hasta ahí todo bien. Luego, en todas las revisiones que encontré afirman que se puede hacer un cambio de variables de modo que en lugar de integrar desde $\phi(t_E=-\infty)=0$ hasta $\phi(t_E=0)=\phi$ integramos desde $\phi(0)=\phi_L^*$ hasta $\phi(\pi)=\phi_R$ rotando con el operador de impulso $K_x$ en el espacio euclidiano. ¿Cómo funciona esto? Pensaría que el estado $\phi$ que quieres al final ya es $|\phi\rangle= |\phi_L \rangle |\phi_R\rangle$ así que no veo cómo terminas con $\phi_L$ en un lado de las condiciones de frontera y $\phi_R$ en el otro. Además, no está claro en absoluto qué cambio de coordenadas están haciendo o por qué la acción euclidiana de repente se convierte en el impulso euclidiano $K_x$ en $x$. Una vez que asumen eso, escriben

$$\begin{equation} \Psi\big(\phi_L \phi_R \big)=\langle \phi_R | e^{-\pi K_x} \Theta | \phi_L\rangle \end{equation}$$

donde $\Theta$ es el operador CPT. Una vez que confío en el paso anterior donde "rotan", este resultado parece razonable... pero el paso de rotación me parece muy poco claro.

[1] https://arxiv.org/abs/1409.1231

[2] https://arxiv.org/abs/1708.00748

Answer 1

Lo que estás preguntando está representado en la figura 8 en https://arxiv.org/pdf/1409.1231.pdf. El principio básico de la QFT dice que el valor del correlacionador no debe depender de la foliación que elijas. En el espacio euclidiano, la única restricción en la rebanada es que esta debe barrer todo el espacio cuando es actuada por un operador de simetría de tu teoría. En cada rebanada se definirá un espacio de Hilbert y el operador de simetría te moverá de una rebanada a otra o, dicho de otra manera, de un Hilbert al siguiente. En la foliación habitual elegimos el plano constante $t$ como la rebanada y el Hamiltoniano $H$ como el operador de simetría. En los cálculos que se realizan en estos documentos, en lugar de foliar nuestro espacio con rebanadas t constantes, elegimos una rebanada de variable angular constante. Ahora tratamos la parte izquierda del eje x como la rebanada inicial y la parte derecha como la rebanada final y el impulso juega el papel del operador de simetría.

Por supuesto, la descomposición $|\phi \rangle = |\phi_L \rangle |\phi_R\rangle$ tomada literalmente es incorrecta ya que olvida una condición de frontera en el origen donde se encuentran. Por lo tanto, la justificación real es más complicada, pero moralmente esta historia debería tener sentido.