Ecuaciones diferenciales ordinarias "ode"

Question

¿Podrías ayudarme a resolver esta ecuación inhomogénea?

$y''(x)+xy'(x)+y(x)=g(x)$

donde g depende linealmente solo en la aproximación, en particular será un polinomio.

Supongamos que $y(x)= y_{H}(x) +y_{p}(x)$ Donde $y_{p}(x)$ es la solución particular y $y_{H}(x)$ es una combinación lineal de la solución fundamental. En el caso de que los coeficientes sean constantes, podemos usar el polinomio característico para encontrar la solución fundamental, pero ¿cómo puedo encontrarla en coeficientes variables?!

Answer 1

Usando la Transformada de Laplace, se obtiene (asumiendo que g es un polinomio con coeficientes constantes):

$y(x) = e^{-\frac{x^{2}}{2}} \,[a-i\;b\;\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;erf(\frac{i\;x}{\sqrt{2}})+\sum_{k=0}^n\frac{2^{\frac{k}{2}}\;e^{-\frac{\pi\,i}{2}(k+2)}}{k+1}g_{k}\,\gamma(\frac{k}{2}+1,-\frac{x^{2}}{2})]$

donde $a = y(0)$, $b = y'(0)$, $g_{k}$ son los coeficientes del polinomio, $erf$ es la función de error y $\gamma$ es la función gamma incompleta

Answer 2

La ecuación homogénea es $$y_h''+xy_h'+y_h=0,$$ con solución $$y_h(x)=C_1e^{-x^2/2}+C_2e^{-x^2/2}\int_0^xe^{t^2}\,dt,$$ obtenida de la Plataforma de Desarrollo de Wolfram. En cuanto a una solución particular, si $g(x)$ es un polinomio de orden $n,$ entonces podemos ver que el LHS, dado un ansatz de un polinomio de orden $n,$ también será un polinomio de orden $n.$ Por lo tanto, intentaría $y_p$ como un polinomio de orden $n$ y calcular los coeficientes al sustituir, una vez que $g$ se conozca.