Ayuda con la inducción, por favor. Luchando durante horas...

Question

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i} = \sum_{i=1}^{2n} \frac{(-1)^{i+1}}{i}$$

$$\prod_{i=1}^n (1-x_i) \gt 1-\sum_{i=1}^{n} x_i$$

¿Alguien puede ayudarme con estos dos? Para el primero, nunca he visto dos variables en una pregunta de inducción y para el segundo, nunca he hecho nada con la notación sigma, así que no sé cómo proceder...

¡Gracias!

Answer 1

Solo cambia la variable. En lugar de sumar sobre $i$, suma sobre alguna variable $j=n+i$. Entonces el primer valor va a ser $n+1$ y el último valor es $n+n=2n$. Así que escribes $$\sum_{i=1}^n\frac1{n+i}=\sum_{j=n+1}^{2n}\frac1j$$ Para la segunda parte ni los términos del producto ni los términos de la suma dependen de $i$. Por lo tanto, reescribe eso como $$(1-x)^n>1-nx$$ EDICIÓN

Entonces veamos lo que eso significa para la parte 1: toma $n=1$. El lado izquierdo es $$\sum_{i=1}^1\frac{1}{1+i}=\frac12$$ El lado derecho es $$\sum_{i=1}^2\frac{(-1)^{i+1}}{i}=\frac{(-1)^2}{1}+\frac{(-1)^3}{2}=1-\frac12=\frac12$$ Intentemos con $n=2$. El lado izquierdo es $$\sum_{i=1}^2\frac1{2+i}=\frac13+\frac14=\frac7{12}$$ Nota que esto lo escribí como $$\sum_{j=2+1=3}^{2\cdot2=4}\frac 1j$$ El lado derecho es $$\sum_{i=1}^{2\cdot 2=4}\frac{(-1)^{i+1}}i=1-\frac12+\frac13-\frac14=\frac{12-6+4-3}{12}=\frac7{12}$$ Así que la igualdad se cumple para $n=1$ y $n=2$. El método de inducción dice que si la afirmación se cumple para $n$, entonces también debería cumplirse para $n+1$. Entonces sabemos que $$\sum_{i=1}^n\frac1{n+i}=\sum_{i=1}^{2n}\frac{(-1)^{i+1}}{i}$$ Queremos mostrar que $$\sum_{i=1}^{n+1}\frac1{n+1+i}=\sum_{i=1}^{2(n+1)}\frac{(-1)^{i+1}}{i}$$

Ahora usaré mi pista y escribiré el lado izquierdo como $$\sum_{j=n+2}^{2n+2}\frac1j=\sum_{j=n+1}^{2n+2}\frac1j-\frac1{n+1}=\sum_{j=n+1}^{2n}\frac1j-\frac1{n+1}+\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}$$ Nota que agregué un término al principio, que tuve que restar, y los dos últimos términos los escribí explícitamente. ¿Por qué de esta manera? Porque ahora la suma es igual que para el caso base. $$\sum_{j=n+1}^{2n}\frac1j-\frac1{n+1}+\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}=\sum_{i=1}^{2n}\frac{(-1)^{i+1}}i+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\\=\sum_{i=1}^{2n}\frac{(-1)^{i+1}}i+\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2}=\sum_{i=1}^{2n+2}\frac{(-1)^{i+1}}i$$