Es una pregunta fácil sobre integrales, pero necesito tu ayuda.

Question

¿Cómo se calcula esta integral?

$$\int^{\pi}_{0} \frac{\sin(nx)\cos\left ( \frac{x}{2} \right )}{\sin \left ( \frac{x}{2} \right ) } \, dx$$

Necesito tu ayuda.

Answer 1

Hay muchas formas de hacer esto. Aquí hay una forma. Sea $$I(n) = \int_0^{\pi} \dfrac{\sin(nx) \cos(x/2)}{\sin(x/2)}dx$$ Entonces tenemos $$\begin{align} I(n+1) - I(n) & = \int_0^{\pi}\dfrac{(\sin((n+1)x) - \sin(nx))\cos(x/2)}{\sin(x/2)}dx\\ & = 2\int_0^{\pi} \dfrac{\sin(x/2) \cos((n+1/2)x) \cos(x/2)}{\sin(x/2)}dx\\ & = \int_0^{\pi} 2 \cos((n+1/2)x) \cos(x/2) dx\\ & = \int_0^{\pi} \left(\cos((n+1)x) + \cos(nx)\right)dx \tag{$\star$} \end{align}$$ $(\star)$ nos da $$I(n+1)-I(n) = \begin{cases} 0 & \text{si } n \in \mathbb{Z}^+\\ \int_0^{\pi}\left( \cos(x) + 1\right)dx = \pi & \text{si }n=0\end{cases} \tag{$\dagger$}$$ Además, tenemos $I(0) = 0$. Por lo tanto, $(\dagger)$ nos da $I(1) - I(0) = \pi \implies I(1) = \pi$ y así $$I(n) = \pi, \,\,\, \forall n \in \mathbb{Z}^+$$

Answer 2

Pista:

$\int_0^{\pi}\dfrac{\sin nx . \cos \dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}=\int_0^{\pi}\dfrac{\sin n(\pi -x) . \sin \dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}}=1$

$\sin (n \pi-nx)=\sin n{\pi} \cos nx-\cos{n \pi}\sin{nx}= (-1)^{n+1}\sin nx$,

$2I=\int_0^{\pi}\dfrac{\sin nx}{\cos \dfrac{x}{2} \cdot \sin \dfrac{x}{2}}$, cuando $n \in$ Par

$2I= \int_0^ \pi \dfrac{\sin nx \cdot \cos x}{\cos \dfrac{x}{2} \cdot \sin \dfrac{x}{2}}$, cuando $n \in$ Impar. Dado que sabemos que $\cos^2\dfrac{x}{2}-\sin^2\dfrac{x}{2}=\cos x$