Demostración de que la intersección de POsets es un POset - Reflexivo

Question

Necesito demostrar que la intersección de 2 POsets R y S es un POset.

Básicamente queremos demostrar que si $R$ y $S$ son POsets entonces $R \cap S$ es reflexivo, transitivo y antisimétrico.

El problema está en el reflexivo, lo demostré así:

Necesitamos demostrar que $\forall a \in A ~~~ \in R \cap S$
Porque $R$ y $S$ son POsets, si $R \cap S = \emptyset$ entonces la intersección es reflexiva (vacía)

De lo contrario, porque $R$ y $S$ son POsets, si $ \in R \cap S$ entonces $ \in R$ y $ \in S$ porque son reflexivos.
Y así $ , \in R \cap S$ y por lo tanto es reflexivo.

En los comentarios el profesor dijo: Reflexivo no es correcto, escribiste que una cosa está en R y la otra en S entonces ¿está en la intersección? (-4 pts)

No sé por qué estoy equivocado aquí, apreciaría si pudieras señalarme el error
Nota: esto no tiene que estar 'bien escrito', somos estudiantes de primer año...solo necesito encontrar el error lógico, no el semántico.

¡Gracias!

Answer 1

Pista: a partir de los comentarios, no hay restricciones en los conjuntos subyacentes a los posets $R$ y $S$. Como has notado, puedes demostrar la reflexividad y antisimetría de $R \cap S$ sin restringir el conjunto subyacente (o campo) de esta relación. Para la reflexividad, lo que tienes que demostrar es que para cada $x$ en el campo de la relación $R \cap S$, $\langle x, x \rangle \in R \cap S$. Tu argumento es correcto si defines $A$ como el campo de $R \cap S$ (aunque quizás quieras mejorar la redacción - has identificado correctamente las condiciones para que $a$ o $b$ estén en el campo de $R \cap S$). No creo que los comentarios de tu profesor sean muy útiles: el comentario correcto es "¿qué es $A$?". Tal vez él o ella pensó que habían preguntado sobre posets $R$ y $S$ sobre el mismo campo, pero, aparentemente, no lo hicieron.