Mapeo de un espacio métrico discreto

Question

Me encontré con este problema en los archivos de cursos del MIT. Actualmente estoy tratando de aprender análisis real y el problema es el siguiente:

 

Sea $(S, d_S)$ una métrica discreta tal que $d_S(t, r) = 1;\ \forall t \ne r)$
  (a) Demuestre que cualquier mapa $f : S\to X$ en otro espacio métrico $X$ es continuo; utilizando la definición de continuidad por sucesiones.
  (b) Demuestre que cualquier mapa $f : S\to X$ en otro espacio métrico $X$ es continuo; utilizando la definición de continuidad por bolas $\epsilon\delta$.
  (c) ¿Qué mapas $f : \mathbb R\to S$ son continuos? (Dale una caracterización fácil y pruébala).

Mi intento:
A. Fije un punto $x_\circ\in X$. Defina una secuencia $S=\{x_n\}$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_\circ$ Sigue que $f(x_n)\in f(S);\forall \ n\in \mathbb{N}$. $S$ es abierto.
Si puedo probar que $f(S)$ es abierto, implicaría que $f$ es continuo. Si $f(S)$ no contiene {cómo se escribe esto en MathJax} $f(x_\circ)$, es abierto. De manera correspondiente, $S$ es abierto. Así, $f:S\to X$ es continuo.

B. Aquí está mi argumento utilizando la definición $\epsilon-\delta$. Fije un punto $x_\circ$. $d_S(p,x_\circ)=1<\delta\ \ \forall \ \ p\ne x_\circ\in S$. Podemos elegir $\epsilon=\sup\{d_X(f(x),f(x_\circ)\}$

C. Mi conjetura es que solo las funciones constantes serán continuas.

Por favor revisa.

Answer 1

A. Demostrar que $f(S)$ es abierto no demuestra nada. Si $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ converge a $x_0$ en $S$ entonces hay algún $N\in\mathbb N$ tal que $n\geqslant N\implies d(x_n,x_0)<1$. Por lo tanto, $$n\geqslant N\implies x_n=x_0\implies f(x_n)=f(x_0)\iff d\bigl(f(x_n),f(x_0)\bigr)=0.$$ Entonces, $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)$.

B. Sea $\varepsilon>0$ y tome $\delta=1$. Entonces $$d(x,x_0)<\delta\iff x=x_0\implies d\bigl(f(x),f(x_0)\bigr)=0<\varepsilon.$$

C. Sí, solo las funciones constantes serán continuas. Esto se debe a que $\mathbb R$ es conexo y por lo tanto $f(\mathbb R)$ también es conexo. Pero los únicos subconjuntos no vacíos y conexos de un espacio métrico discreto son los singletons.