Hay dos maneras para cuantizar una teoría de gauge.
1) en Primer lugar quantize todos los grados de libertad y, a continuación, reducir el calibre de la libertad mediante la imposición de condiciones en el quantum de espacio de Hilbert.
2) en Primer lugar reducir el calibre de la redundancia, a continuación, cuantizar el reducido espacio de fase.
Para los realistas calibre teorías en $4D$, hay problemas en la aplicación de cualquiera de estos métodos. El primer método requeriría medidor de fijación y la Faddeev-Popov procedimiento, pero en realidad no hay un buen indicador de fijación debido a la Gribov ambigüedad. El segundo método, el resultado sería muy complicado que no es plano infinito de dimensiones del espacio de fase con singularidades.
En el caso de la pura $3D$ Chern-Simons sin embargo, el segundo método resultados de un número finito de dimensiones quantizable el espacio de fase. En el Abelian (y también No Abelian) Chern-Simons teoría sobre el toro, esta construcción puede ser realizada de forma explícita.
Recordemos que el espacio de fase de una teoría cuántica puede ser identificado con el espacio de sus soluciones clásicas. En el caso de la Chern Simons teoría de la solución clásica de satisfacer:
$$\mathbf{F}=0$$
($\mathbf{F}$ es el medidor de intensidad de campo). En el espacio plano, esta condición significa que la solución es un puro calibre y la eliminación de la medida de la redundancia, significa que el espacio de fase es un punto. Sin embargo, en el toro hay otra solución que no es un puro calibre: La constante de la solución, ya que por un lado satisface la ecuación clásica de movimiento y por otro lado es normalizable. Por lo tanto una solución clásica en el toro tendría la forma general:
$$\mathbf{A(x)}=\frac{\mathbf{\alpha}}{2\pi}+\mathbf{\nabla}{\phi(\mathbf{x})}$$
Donde $\mathbf{\alpha}$ es una constante.
Recordando que la distribución de Poisson soportes obtenidos a partir de la clásica Abelian Chern Simons de Lagrange leer:
$$\{A_i, A_j \} = \frac{2 \pi i \epsilon_{ij}}{k} \delta^2(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$
Y observando que
$$\mathbf{\alpha} = \oint\mathbf{A}$$
(La integración es a través de un solo turno). A continuación, mediante la integración de la distribución de Poisson soporte de la ecuación en sus dos círculo de los generadores, se obtienen los siguientes corchetes de Poisson para $\alpha$
$$\{\alpha_i, \alpha_j \} = \frac{2 \pi i \epsilon_{ij}}{k} $$
$\alpha$ define dos dimensiones del espacio de fase. Cuantización de este espacio significaría para encontrar funciones en las dos dimensiones del espacio de fase satisfacer estos corchetes de Poisson. En este caso, esto puede ser logrado mediante la inspección:
$$ \alpha_i = p_i - \frac{2 \pi i \epsilon_{ij}}{k} q_i$$
Esto es sólo el impulso del operador en la presencia de un campo magnético constante $$\mathbf{B} = \frac{2 \pi }{k} \mathbf{\hat{z}}$$ in the $z$-dirección. ("Traducción magnética operador"). Así, la cuantificación de los Wilson bucle a lo largo de un número integral de bucles:
$$ W(\mathbf{l}) = e^{i \oint_{\mathbf{l}}\mathbf{A}} = e^{i \mathbf{\alpha}. \mathbf{l}}$$
(es decir, esta vez no restringimos la integración a una sola vuelta:) $\mathbf{l} = 2 \pi (m, n)$ donde $m$ $n$ son enteros.
No es difícil de usar de la canónica de relaciones de conmutación (álgebra de Weyl) para obtener:
$$ W(\mathbf{l}_1) W(\mathbf{l}_2) = e^{i \mathbf{B} .( \mathbf{l}_1 \times \mathbf{l}_2)} W(\mathbf{l}_2) W(\mathbf{l}_1) $$
En particular:
$$ W(\mathbf{\hat{x}}) W(\mathbf{\hat{y}}) = e^{i \frac{2 \pi}{k}} W(\mathbf{\hat{y}}) W(\mathbf{\hat{x}}) $$
Vale la pena mencionar que los operadores de $\alpha$ no puede ser elegido como observables debido a que no son invariante gauge. Por lo tanto buscamos un espacio de Hilbert representación de $W(\mathbf{\hat{x}})$$W(\mathbf{\hat{y}})$. Una forma de encontrar este tipo de representación es a postular la existencia de un estado (vacío) $|0\rangle$ sobre la cual podemos generar todo el espacio de Hilbert por la acción de los operadores de $W(\mathbf{\hat{x}})$$W(\mathbf{\hat{y}})$.
En primer lugar, observamos que, sin pérdida de generalidad, podemos optar $W(\mathbf{\hat{x}})$ diagonal. A continuación podemos observar que
$$ W(\mathbf{\hat{x}}) W(\mathbf{\hat{y}})^k = W(\mathbf{\hat{y}})^k W(\mathbf{\hat{x}}) $$
Por lo tanto $ W(\mathbf{\hat{y}})^k $ viajes con la diagonal $W(\mathbf{\hat{x}})$, por lo tanto debe ser diagonal, ya que los viajes también con $W(\mathbf{\hat{y}})$, por lo que con cualquier secuencia de los productos de los dos operadores. Así, este operador debe estar representado por el operador de la unidad:
$$ W(\mathbf{\hat{y}})^k = \mathbf{I}$$
Desde $ W(\mathbf{\hat{x}})$ es diagonal, no altera los vectores actúa, por lo tanto, una base del espacio de Hilbert debe ser dada por:
$$\mathrm{Span} \{ |0\rangle$, $ W(\mathbf{\hat{y}}) |0\rangle, W(\mathbf{\hat{y}})^2 |0\rangle,..., W(\mathbf{\hat{y}})^{k-1} |0\rangle \}$$
Esto implica que el espacio de Hilbert es finito dimensionales, y si se denota:
$$ |n\rangle = W(\mathbf{\hat{y}})^n |0\rangle$$
Obtenemos el toro álgebra de acción en el espacio de Hilbert:
$$ W(\mathbf{\hat{x}}) |n\rangle = e^{i \frac{2 \pi n}{k}} |n\rangle $$
$$ W(\mathbf{\hat{y}}) |n\rangle = |n+1\rangle $$
Esta no es la única forma de obtener este resultado. Este espacio de Hilbert se puede obtener de la forma más natural como el espacio de Jacobi theta funciones en las coordenadas de la representación. Esto requeriría el uso de las técnicas de Berezin de cuantización o estado Coherente de cuantización, por favor véase, por ejemplo, en el artículo 6 del siguiente artículo : Spradlin, y Volovich.
