Correlación parcial para verificar si C impulsa una correlación normal entre A y B

Question

Digamos que tengo dos puntuaciones de una cierta población, A y B, que están correlacionadas. Digamos que también tengo una tercera variable de esa población, C, y ahora quiero ver si la correlación parcial entre A y B sigue siendo válida cuando se agrega C como covariable.

Si la correlación ya no se mantiene, ¿es correcto concluir que C estaba "impulsando el efecto", es decir, que explica suficiente varianza en una variable como para que no quede mucho para la otra variable?

Si es así, ¿puedo concluir también que C está correlacionado con A y/o B?

¿Y es correcto asumir la transitividad de la relación de correlación, es decir, si A se correlaciona con B, y si esta correlación ya no se mantiene al controlar por C, entonces debe significar que C se correlaciona tanto con A como con B?

Answer 1

¿Puedo concluir también que C está correlacionado con A y/o B?

Sí, ya que de lo contrario, controlar por $C$ no habría cambiado la correlación entre $A$ y $B.

Si A se correlaciona con B, y si esta correlación ya no se mantiene al controlar por C, ¿significa entonces que C se correlaciona tanto con A como con B?

Sí.

Podemos relacionar los coeficientes de correlación entre sí. Para hacer esto más fácil, también podemos asumir, sin pérdida de generalidad, que $A$, $B$ y $C$ han sido estandarizados, ya que esas operaciones no cambian las correlaciones o correlaciones parciales. Por lo tanto, las covarianzas entre las tres variables son sus correlaciones $\rho_{AB}, \rho_{BC}$ y $\rho_{AC}$.

Sean $A_C$ y $B_C$ los residuos después de regresar $A$ y $B$ en $C$. Las ecuaciones de regresión son

$$A = \rho_{AC}C + A_C,\ B = \rho_{BC}C + B_C$$

"Esta correlación ya no se mantiene" significa que $A_C$ y $B_C$ no están correlacionados, lo que implica que su covarianza es cero. Utilice este hecho, y la falta de correlación entre $C$ y cualquiera de los residuos $A_C$ o $B_C$, para calcular la correlación

$$\eqalign{ \rho_{AB} &= \text{Cov}(\rho_{AC} C, \rho_{BC} C) + \text{Cov}(\rho_{AC} C, B_C) + \text{Cov}(A_C, \rho_{BC} C) + \text{Cov}(A_C, B_C) \\ &=\rho_{AC}\rho_{BC} + \rho_{AC}(0) + \rho_{BC}(0) + 0 \\ &= \rho_{AC}\rho_{BC}. }$$

Ahora está claro que $\rho_{AB} \ne 0$ si y solo si tanto $\rho_{AC}\ne 0$ como $\rho_{BC} \ne 0$, QED.