Si $G/H$ es un grupo, ¿entonces $H$ tiene que ser normal?

Question

Si $H$ es normal entonces $G/H$ es un grupo. ¿Pero es verdad la recíproca? Es decir, si $G/H$ es un grupo, ¿significa esto que $H$ es normal?

¿O existen contraejemplos?

Answer 1

La notación $G/H$ es ambigua a menos que $H$ sea normal; así, $G/H$ está bien definido si y solo si $H$ es normal.

Prueba:

Cuando $H$ no es normal, hay un problema de si usamos cocientes por la izquierda o por la derecha en $G$. Digamos que elegimos cocientes por la izquierda: $$\{gH\colon g\in G\}.$$ Si queremos que la operación de multiplicación en este conjunto sea compatible con la de $G$, estamos obligados a definir: $$aH\cdot bH\equiv (ab)H.$$ Para que esto esté bien definido, necesitamos que para cada $h_1,h_2\in H$, exista algún $h_3\in H$ tal que $$ah_1bh_2=abh_3.$$ Eligamos $h_2=e$. Entonces $ah_1b=abh_3$, y al cancelar la $a$ obtenemos $h_1b=bh_3$. Así que los cocientes $Hb$ y $bH$ son iguales. Dado que $b$ era arbitrario, se sigue que $H$ es normal.

Answer 2

Creo que la pregunta es la siguiente: ¿Existe un subgrupo no normal $H \subset G$, tal que $(xH)(yH) := (xy)H$ haga que $G/H$ (que en ningún momento es ambiguo, ya que solo son los conjuntos de cocientes) sea un grupo bien definido?

La respuesta es no:

Sea $H$ no normal, por lo tanto, existe un $a \in G$ con $aH \neq Ha$. Tomamos $b \in aH \setminus Ha$.

Por un lado, tenemos $(bH)(a^{-1}H) = (aH)(a^{-1}H) = (aa^{-1})H=H$.

Por otro lado, tenemos $(bH)(a^{-1}H) = (ba^{-1})H \neq H$, ya que $ba^{-1} \notin H$ por la suposición $b \notin Ha$.

Por lo tanto, la estructura de grupo inducida no está bien definida.

Por supuesto, podrías definir cualquier otra estructura de grupo en $G/H$, que no esté inducida por la de $G$.

Answer 3

Hay algunas buenas respuestas aquí.

Una cosa a tener en cuenta es que no solo nos importa que $G/H$ sea un grupo; en general, para cualquier subgrupo $H \subset G$ podemos definir el conjunto de coclases $G/H$. Esto es un conjunto, por lo que podemos definir alguna estructura de grupo en él como queramos. Entonces, en cierto sentido, $G/H$ siempre puede ser un grupo independientemente de la normalidad de $H.

Sin embargo, lo que queremos es más que eso: queremos una compatibilidad entre las operaciones de grupo; es decir, queremos que la estructura de grupo en $G$ y en $G/H$ estén relacionadas. Específicamente, queremos que la función natural de teoría de conjuntos $$\phi : G \to G/H$$ sea un homomorfismo de grupos. Esto solo es cierto si $H$ es normal.

Answer 4

Si $G/H$ es un grupo, entonces el mapa natural $\phi: G \longrightarrow G/H$ tiene a $H$ como su núcleo.

Afirmación: cualquier subgrupo que aparezca como núcleo de un homomorfismo de grupos es un subgrupo normal.

Prueba: Llamemos a $H$ nuestro subgrupo núcleo. Entonces queremos mostrar que $ghg^{-1} \in H$. Pero entonces $\phi(ghg^{-1}) = \phi(g) \phi(h) \phi(g)^{-1} = \phi(g)\phi(g)^{-1} = e$ el elemento identidad, y por lo tanto $ghg^{-1}$ también está en el núcleo. Así que el núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal. $\diamondsuit$

Esto necesariamente implica que $H$ es normal.

Por cierto, esto también es si y solo si. Entonces, si $H$ es un subgrupo normal, entonces aparece como el núcleo del mapa descendente natural. Pero implícito dentro de esta afirmación está que $G/H$ es un grupo.